Codeforces 678E. Another Sith Tournament（概率DP，状压）

Codeforces 678E. Another Sith Tournament

题意：

n（n<=18)个人打擂台赛，给定任意两人对决的胜负概率，比赛规则：可指定一人作为最开始的擂主，每次可指定台下的人替代失败的人上去对决，失败的人出局。问在最优决策下，第一个人留到最后的概率。

思路：

首先要观察到这一性质：一号玩家要想取得最终胜利的概率尽可能大，一定要把他安排在最后上场，只打一次。获胜概率与当前擂主以及台下的人有关，所以这个是状态，容易想到需要用二进制表示来压缩状态。

然而想到这些还是不好做，因为如果顺着逻辑正向DP是很困难的，因为每次有输和赢两种走向。因此需要倒着DP。

那么，定义dp[i][sta]：当前存活状态为sta，擂主为i的情况下，一号玩家获胜的最大概率。那么就有了这般转移式：

dp[i][sta] = max{ dp[i][sta], p[i][j] * dp[i][sta^(1<<j)] + p[j][i] * dp[j][sta^(1<<i)] }

这个转移式不是很好理解，想了比较久，觉得这样理解比较好：

对于擂主为i，存活人状态为sta的情况，枚举下一个上台的人j，对于确定的j，状态就有两种走向，i打败j或j打败i。

因此如果我们的决策是指定j上台攻擂，那么上述状态下一号玩家获胜的概率就会等于

p_ij(i赢j的概率) * dp[i]sta^(1<<j) + p_ji(i输给j的概率) * dp[j]sta^(1<<i)。

因此DP转移的顺序应该是倒着的，对于确定的存活状态，再枚举擂主以及攻擂的人，来贪心出怎么转移过去一号玩家获胜概率最大，那么倒着推到n个人都活着的时候，对擂主i枚举，即可贪出最大概率。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<functional>
#include<string>
#define dd(x) cout<<#x<<" = "<<x<<" "
#define de(x) cout<<#x<<" = "<<x<<"\n"
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> P;
typedef priority_queue<int> BQ;
typedef priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > SQ;
const int maxn=6e5+10,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
ld p[20][20];
ld dp[20][maxn];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for (int i=0;i<n;++i)
		for (int j=0;j<n;++j)
			cin>>p[i][j];
	dp[0][1]=1;
	for (int sta=1;sta<(1<<n);++sta)
	{
		for (int i=0;i<n;++i)
		{
			if (!(sta&(1<<i)))
				continue;
		 	for (int j=0;j<n;++j)
		 	{
		 		if (i==j||!(sta&(1<<j)))
		 			continue;
		 		dp[i][sta]=max(dp[i][sta], p[i][j]*dp[i][sta^(1<<j)]+p[j][i]*dp[j][sta^(1<<i)]);
		 	}
		 }
	}
	ld ans=-1;
	for (int i=0;i<n;++i)
		ans=max(ans,dp[i][(1<<n)-1]);
	cout<<setprecision(10)<<ans;
	return 0;
}