SP116 INTERVAL - Intervals

题意翻译

区间取数

题目描述

有n个区间，在区间[ai，bi]中至少取任意互不相同的ci个整数。求在满足n个区间的情况下，至少要取多少个正整数。

输入输出格式

输入格式

多组数据。

第一行的一个整数T表示数据个数。对于每组数据,第一行包含一个整数n(1<=n<=50000)表示区间数。以下n行描述区间。输入的第(i+1)行包含三个整数ai，bi，ci，由空格分开。其中0<=ai<=bi<=50000，1<=ci<=bi-ai+1。

输出格式

对于每组数据，输出一个对于n个区间[ai，bi] 至少取ci个不同整数的数的总个数。

输入输出样例

输入样例#1：

1
5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1

输出样例#1：

6

解析：
这是一道差分约束的模板题，写完这一题之后可以更好地理解差分约束。

【差分约束系统】
差分约束系统是一种特殊的N元一次不等式组。它包含N个变量X1~XN以及M个约束条件，每个约束条件都是由两个变量作差构成的，形如Xi-Xj<=ck，其中ck是常数。我们要解决的问题是：求X的一组解，使得所有约束条件得到满足。

实际上，最短路径问题和最长路径问题都是某种程度上的差分约束系统，对于差分约束系统中的每个条件Xi-Xj>=ck我们可以变形为Xi<=Xj+ck。而单源最短/长路实际上是求了一个差分约束系统的最优解（最小/大的符合条件的情况）。
也就是说，对于一个无向图，我们得到的所有可达点之间的每一条简单路径，都是这个“路径”的差分约束系统的一组解（这个系统几乎没有约束条件）。如果我们要求某一个差分约束系统的最优解，就相当于在一张图上求解最短/长路。

为了便于理解，我们可以将求解最短/长路径的方法看做是求解差分约束的一种工具，将差分约束系统的条件变形作三角形不等式进行求解。

我们看回这道题目，我们会发现题意与差分约束系统十分相似。
假设s[k]为0~k之间最少取到的互不相同（隐藏条件）的整数，根据题意，我们容易得到s[bi]-s[ai-1]>=ci。
特别的，差分约束系统的题目总是有一些隐藏条件，这些条件我们也必须加入到差分约束系统中去，使得这些条件也成立。
本题中，隐藏条件有：

1. 对于任意一个数，要不然选一次，要不然不选， 不能选两次。于是得到：s[k]-s[k-1]<=1
2. 对于任意一个区间0~k-1，必然存在一个区间0~k选出的数要不然比0~k-1多，要不然选出的数一样多。于是得到：s[k]-s[k-1]>=0。

但是我们尴尬的发现他们不等号的方向不一致，没事，我们转化一下就好了。

条件1可以变为s[k-1]-s[k]>=-1。

注意一个问题：

如果Xi-Xj的约束条件是<=号，则我们要求的是最短路；

如果约束条件是>=号，则我们要求的是最长路（根据三角形不等式得出）。

首先，我们把0~k（此处的k为最大的那个bi）按照隐藏约束条件初始化，也就是，从每个k-1连一条长0的有向边至k，从每个k连一条长-1的边至k-1。

然后按照输入，依次加入ai-1 -> bi的长度为ci的有向边。

值得注意的是，这里数组下标不能为负数，那我们就给他加成正的，以0为初始阶段点开始，求最长路。

最优解便是d[k]了。

参考代码：（话说这道题快读会爆？！）

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<algorithm>
 #define N 100010
 using namespace std;
 queue<int> q;
 struct node{
     int next,ver,edge;
 }g[N<<];
 int head[N],tot,d[N],n;
 bool v[N<<];
 void add(int x,int y,int val)
 {
     g[++tot].ver=y,g[tot].edge=val;
     g[tot].next=head[x],head[x]=tot;
 }
 void spfa(int x)
 {
     memset(d,-,sizeof(d));
     memset(v,,sizeof(v));
     d[x]=;v[x]=;
     q.push(x);
     while(q.size())
     {
         int index=q.front();q.pop();
         v[index]=;
         for(int i=head[index];i;i=g[i].next){
             int y=g[i].ver,z=g[i].edge;
             if(d[y]<d[index]+z){
                 d[y]=d[index]+z;
                 if(!v[y]) v[y]=,q.push(y);
             }
         }
     }
 }
 int main()
 {
     int t;
     cin>>t;
     for(int k=;k<=t;k++)
     {
         tot=;
         memset(g,,sizeof(g));
         memset(head,,sizeof(head));
         int cnt=-N;
         scanf("%d",&n);

         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             int x,y,c;
             scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);
             add(x,y+,c);
             cnt=max(cnt,y);
         }
         for(int i=;i<=cnt+;i++){
             add(i-,i,),add(i,i-,-);
         }
         spfa();
         if(k<t) printf("%d\n",d[cnt+]);
         else printf("%d",d[cnt+]);
     }
     return ;
 }