并不对劲的复健训练-bzoj5339:loj2578:p4593:[TJOI2018]教科书般的亵渎

题目大意

题目链接

题解

先将\(a\)排序。

\(k\)看上去等于怪的血量连续段的个数，但是要注意当存在\(a_i+1=a_{i+1}\)时，虽然它们之间的连续段为空，但是还要算上；而当\(a_m=n\)时，最后一段连续段不用算。

考虑进行游戏的过程：设当前最大血量为\(p\)，正在打出第\(q\)张亵渎，那么得到的分数是：\(\sum\limits_{i=1}^p i^k-\sum\limits_{i=q}^{m}(a_i-a_{q-1})^k\)。

后一部分可以直接求。

前一部分\(\sum\limits_{i=1}^p i^k\)，通过观察查看题解发现求它的公式是个关于\(p\)的\(k+1\)次多项式，可以把\(p=1,2,...,k+2\)的值代入暴力求解，得到\(k+2\)个在该多项式的曲线上的点，然后通过拉格朗日插值求该多项式。

代码

#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iomanip>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#define rep(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i)
#define dwn(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i)
#define view(u,k) for(int k=fir[u];~k;k=nxt[k])
#define LL long long
#define maxn 57
using namespace std;
LL read()
{
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
void write(int x)
{
    if(x==0){putchar('0'),putchar('\n');return;}
    int f=0;char ch[20];
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    while(x)ch[++f]=x%10+'0',x/=10;
    while(f)putchar(ch[f--]);
    putchar('\n');
    return;
}
const LL mod=1e9+7;
LL n,a[maxn];
int t,m,f[maxn],b[maxn],qy[maxn],ans,sz,k;
int mul(int x,int y){int res=1;while(y){if(y&1)res=(LL)res*x%mod;x=(LL)x*x%mod,y>>=1;}return res;}
int mo(int x){return x>=mod?x-mod:x;}
void prew()
{
	rep(i,1,sz)qy[i]=mo(qy[i-1]+mul(i,k)),f[i]=0;
	f[0]=1;
	rep(i,1,sz)dwn(j,i,1)f[j]=mo(f[j]+(LL)f[j-1]*(mod-i)%mod);
	reverse(f,f+sz+1);
	rep(i,1,sz)
	{
		int lst=0,num=1,nyx=mul(mod-i,mod-2);
		rep(j,1,sz)if(i!=j)num=(LL)num*mo(i-j+mod)%mod;
		num=(LL)mul(num,mod-2)*qy[i]%mod;
		rep(i,0,sz-1)
		{
			lst=(LL)mo(f[i]-lst+mod)*nyx%mod,b[i]=mo(b[i]+(LL)lst*num%mod);
		}
	}
}
int getf(LL x)
{
	if(x<=0)return 0;
	x%=mod;
	int res=0,now=1;
	rep(i,0,sz-1)res=mo(res+(LL)b[i]*now%mod),now=(LL)now*x%mod;
	return res;
}
int main()
{
    t=read();
    while(t--)
    {
		n=read(),m=read(),ans=0;k=m+1;
	    rep(i,1,m)a[i]=read();
	    sort(a+1,a+m+1);
	    if(a[m]==n)k--;
	    else a[++m]=n+1;sz=k+2;
		prew();
	    rep(i,1,m)
	    {
	    	ans=mo(ans+getf(a[m]-a[i-1]-1));
	    	rep(j,i,m-1)ans=mo(ans-mul(a[j]-a[i-1],k)+mod);
	    }
		write(ans);
		rep(i,0,sz)b[i]=0;
	}
	return 0;
}

一些感想

说到求自然数幂和，就不得不说某年省选day1t3……

仔细想想，对于某些手很健康的人来说，可能写拉格朗日插值比写暴力的正解快？