[BZOJ3295] [Cqoi2011]动态逆序对（带修改主席树）

题目描述

对于序列A，它的逆序对数定义为满足i<j，且Ai>Aj的数对(i,j)的个数。给1到n的一个排列，按照某种顺序依次删除m个元素，你的任务是在每次删除一个元素之前统计整个序列的逆序对数。

输入输出格式

输入格式：

输入第一行包含两个整数n和m，即初始元素的个数和删除的元素个数。以下n行每行包含一个1到n之间的正整数，即初始排列。以下m行每行一个正整数，依次为每次删除的元素。

输出格式：

输出包含m行，依次为删除每个元素之前，逆序对的个数。

输入输出样例

输入样例#1：

5 4
1
5
3
4
2
5
1
4
2

输出样例#1：

5
2
2
1

样例解释
(1,5,3,4,2)，(1,3,4,2)，(3,4,2)，(3,2)，(3)。

说明

N<=100000 M<=50000

题解

原来还以为自己已经会带修改主席树了呢……才发现自己还是太naive……

然后找到的题解全是CDQ分治的……我这个蒟蒻有点方……

然后发现还是zcysky大佬写的最吼啦

还是来详细的说一说

先考虑无修改的逆序对怎么做？

很明显，用树状数组（虽然我今天之前一直以为逆序对个数只能用归并做）

我们记$a1[i]$表示在$i$之前且比$i$大的数的个数（注意，这里的i指的是位置），那么很明显答案为$\sum _{i=1}^n a[i]$

代码实现

 for(int i=;i<=n;++i){
     val[i]=read(),pos[val[i]]=i;
     a1[i]=ask(n)-ask(val[i]);
     ans+=a1[i];
     for(int j=val[i];j<=n;j+=lowbit(j)) ++c[j];
 }

记$a2[i]$表示在$i$之后且比$i$小的数的个数，只要把上面那个倒着推就行了

 for(int i=n;i;--i){
     a2[i]=ask(val[i]-);
     for(int j=val[i];j<=n;j+=lowbit(j)) ++c[j];
 }

接下来我们考虑修改操作。

每一次将一个数删除，减少的逆序对个数是多少？

很明显是$a1[i]+a2[i]$，然后我们就可以做啦

于是评测机表示并不想理你并丢给你一堆WA

这个时候我们发现自己忽略了一个关键的问题，如果$a1[i]$和$a2[i]$中表示的数已经有被删除了的怎么办？

我们只要把这些被删除的数减去即可

具体来说，我们可以考虑用一个带修改主席树维护

因为主席树维护的是前缀和

如果按照一般思想，一个一个去更改太浪费时间了

我们想到，前缀和可以用树状数组的思想来维护

于是我们可以用树状数组的思想建主席树

于是每一次更改就可以减少到做$log n$次了

所以每一次删去一个数，我们就在主席树上插入这个数

要算答案时，只要减去$a1[i]$和$a2[i]$，再把删除的数加回来就好了

只要在主席树上$[1,i-1]$区间中大于$val[i]$的数的个数和$[i+1,n]$区间中小于$val[i]$的数的个数即可

 //minamoto
 #include<bits/stdc++.h>
 #define N 100005
 #define M 5000005
 #define ll long long
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline ll read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;ll res;
     while(!isdigit(ch=getc()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 char obuf[<<],*o=obuf;
 void print(ll x){
     if(x>) print(x/);
     *o++=x%+;
 }
 int L[M],R[M],sum[M],rt[N];
 int val[N],pos[N],xx[N],yy[N],c[N],a1[N],a2[N];
 int n,cnt,q;ll ans=;
 inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
 int ask(int x){
     int s=;
     for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) s+=c[i];
     return s;
 }
 void update(int &now,int l,int r,int k){
     if(!now) now=++cnt;
     ++sum[now];
     if(l==r) return;
     int mid=(l+r)>>;
     if(k<=mid) update(L[now],l,mid,k);
     else update(R[now],mid+,r,k);
 }
 int querysub(int x,int y,int v){
     int cntx=,cnty=,ans=;--x;
     for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) xx[++cntx]=rt[i];
     for(int i=y;i;i-=lowbit(i)) yy[++cnty]=rt[i];
     int l=,r=n;
     while(l<r){
         int mid=(l+r)>>;
         if(v<=mid){
             for(int i=;i<=cntx;++i) ans-=sum[R[xx[i]]];
             for(int i=;i<=cnty;++i) ans+=sum[R[yy[i]]];
             for(int i=;i<=cntx;++i) xx[i]=L[xx[i]];
             for(int i=;i<=cnty;++i) yy[i]=L[yy[i]];
             r=mid;
         }
         else{
             for(int i=;i<=cntx;++i) xx[i]=R[xx[i]];
             for(int i=;i<=cnty;++i) yy[i]=R[yy[i]];
             l=mid+;
         }
     }
     return ans;
 }
 int querypre(int x,int y,int v){
     int cntx=,cnty=,ans=;--x;
     for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) xx[++cntx]=rt[i];
     for(int i=y;i;i-=lowbit(i)) yy[++cnty]=rt[i];
     int l=,r=n;
     while(l<r){
         int mid=(l+r)>>;
         if(v>mid){
             for(int i=;i<=cntx;++i) ans-=sum[L[xx[i]]];
             for(int i=;i<=cnty;++i) ans+=sum[L[yy[i]]];
             for(int i=;i<=cntx;++i) xx[i]=R[xx[i]];
             for(int i=;i<=cnty;++i) yy[i]=R[yy[i]];
             l=mid+;
         }
         else{
             for(int i=;i<=cntx;++i) xx[i]=L[xx[i]];
             for(int i=;i<=cnty;++i) yy[i]=L[yy[i]];
             r=mid;
         }
     }
     return ans;
 }
 int main(){
     //freopen("testdata.in","r",stdin);
     n=read(),q=read();
     for(int i=;i<=n;++i){
         val[i]=read(),pos[val[i]]=i;
         a1[i]=ask(n)-ask(val[i]);
         ans+=a1[i];
         for(int j=val[i];j<=n;j+=lowbit(j)) ++c[j];
     }
     memset(c,,sizeof(c));
     for(int i=n;i;--i){
         a2[i]=ask(val[i]-);
         for(int j=val[i];j<=n;j+=lowbit(j)) ++c[j];
     }
     while(q--){
         print(ans),*o++='\n';
         int x=read();x=pos[x];
         ans-=(a1[x]+a2[x]-querysub(,x-,val[x])-querypre(x+,n,val[x]));
         for(int j=x;j<=n;j+=lowbit(j)) update(rt[j],,n,val[x]);
     }
     fwrite(obuf,o-obuf,,stdout);
     return ;
 }