神、上帝以及老天爷

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Problem Description
HDU 2006'10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了!

为了活跃气氛,组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动,这个活动的具体要求是这样的:



首先,所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中;

然后,待所有字条加入完毕,每人从箱中取一个字条;

最后,如果取得的字条上写的就是自己的名字,那么“恭喜你,中奖了!”



大家可以想象一下当时的气氛之热烈,毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀!不过,正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾,这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖!



我的神、上帝以及老天爷呀,怎么会这样呢?



不过,先不要激动,现在问题来了,你能计算一下发生这种情况的概率吗?



不会算?难道你也想以悲剧结尾?!
 

Input
输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数,然后是C 行数据,每行包含一个整数n(1<n<=20),表示参加抽奖的人数。


 

Output
对于每个测试实例,请输出发生这种情况的百分比,每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入),具体格式请参照sample output。


 

Sample Input
1
2
 

Sample Output
50.00%
 

Author
lcy
 

Source
 


显然离散数学的错排问题。。。不过有点记不住了

F[n]=(n-1)(F[n-1]+F[n-2)

n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成: 

第一步,“错排” 1 号元素(将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一),有 n - 1 种方法。 

第二步,“错排”其余 n - 1 个元素,按如下顺序进行。视第一步的结果,若1号元素落在第 k 个位置,第二步就先把 k 号元素“错排”好, k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生:

1、 k 号元素排在第1个位置,留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”,有 f(n -2) 种方法;

2、 k 号元素不排第 1 个位置,这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置(也就是说本来准备放到k位置为元素,可以放到1位置中),于是形成(包括 k 号元素在内的) n - 1 个元素的“错排”,有 f(n - 1) 种方法。据加法原理,完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。 

根据乘法原理, n 个不同元素的错排种数 

f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。 

比较巧妙的地方就是在第二步,假设k不能

排在第一的位置(即第一的位置为之前不能

排的k位置),又转换成了错排问题。十分

之巧妙思想

还有容斥原理的直接公式法
正整数1, 2, 3, ……, n的全排列有 n! 种,其中第k位是k的排列有 (n-1)! 种;当k分别取1, 2, 3, ……, n时,共有n*(n-1)!种排列是至少放对了一个的,由于所求的是错排的种数,所以应当减去这些排列;但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次,应补上;在补上时,把同时有三个数不错排的排列多补上了一次,应排除;……;继续这一过程,得到错排的排列种数为
D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + … + (-1)^n*n!/n! = ∑(k=2~n) (-1)^k * n! / k!,
即D(n) = n! [1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! + ... + (-1)^n/n!].
其中,∑表示连加符号,k=2~n是连加的范围;0! = 1,可以和1!相消。

记住最后的公式就好了
即D(n) = n! [1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! + ... + (-1)^n/n!].





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