2017 3 11 分治FFT

　　

考试一道题的递推式为$$f[i]=\sum_{j=1}^{i} j^k \times (i-1)! \times \frac{f[i-j]}{(i-j)!}$$
这显然是一个卷积的形式，但$f$需要由自己卷过来(我也不知到怎么说)，以前只会生成函数的做法，但这题好像做不了(谁教教我怎么做)，于是无奈的写了一发暴力，看题解发现是分治FFT.
分治每层用$f[l]-f[mid]$与$a[1]-a[r-l]$做NTT。
这样显然每个$f[l]-f[mid]$对$f[mid+1]-f[r]$的贡献都考虑到了。
因为分治是从1开始的，所以$f[0]$的转移预处理了。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #define ll long long
 #define N 400005
 using namespace std;
 int n,k;
 const int p = ;
 ll poow[N],jie[N],ni[N];
 ll pw(ll x,ll y)
 {
     ll lst=;
     while(y)
     {
         if(y&)lst=lst*x%p;
         x=x*x%p;
         y>>=;
     }
     return lst;
 }
 ll f[N];
 int R[N],a[N],b[N];
 void NTT(int *a,int n,int f,int L)
 {
     for(int i=;i<n;i++)R[i]=(R[i>>]>>)|((i&)<<(L-));
     for(int i=;i<n;i++)if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
     for(int i=;i<n;i<<=)
     {
         int wn=pw(,((p-)/(i<<)*f+p-)%(p-));
         for(int j=;j<n;j+=(i<<))
         {
             int w=;
             for(int k=;k<i;k++,w=1LL*w*wn%p)
             {
                 int x=a[j+k],y=1LL*a[j+k+i]*w%p;
                 a[j+k]=(x+y)%p;a[j+k+i]=(x-y+p)%p;
             }
         }
     }
     if(f==-)
     {
         int nw=pw(n,p-);
         for(int i=;i<n;i++)a[i]=1LL*a[i]*nw%p;
     }
     return ;
 }
 void solve(int l,int r)
 {
     if(l==r)
     {
         f[l]=f[l]*jie[l-]%p;
         return ;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     solve(l,mid);int len=r-l+;int m=len<<;
     for(int i=;i<len;i++)a[i]=poow[i];
     for(int i=l;i<=mid;i++)b[i-l]=f[i]*ni[i]%p;
     int L=;for(len=;len<m;len<<=)L++;
     for(int i=mid-l+;i<len;i++)b[i]=;
     NTT(a,len,,L);NTT(b,len,,L);
     for(int i=;i<len;i++)a[i]=1LL*a[i]*b[i]%p;
     NTT(a,len,-,L);
     for(int i=mid+;i<=r;i++)f[i]=(f[i]+a[i-l])%p;
     solve(mid+,r);
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&k);
     jie[]=;ni[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)jie[i]=(jie[i-]*i)%p;
     for(int i=;i<=n;i++)ni[i]=pw(jie[i],p-);
     poow[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)poow[i]=pw(i,k);
     for(int i=;i<=n;i++)f[i]=poow[i];
     solve(,n);
     printf("%lld\n",f[n]);
     return ;
 }