SPOJLCMSUM - LCM Sum

简要题意

\(T\) 组数据，每组数据给出一个 \(n\)，计算：

\[\sum_{i=1}^{n}{\operatorname{lcm}(i,n)}
\]

\(1 \leq T \leq 3\times 10^5,1 \leq n \leq 10^{6}\)

思路

比较快乐的推式子题。

\[\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^{n}{\operatorname{lcm}(i,n)}\\
&=\sum_{i=1}^{n}{\frac{in}{\gcd(i,n)}}\\
&=\frac{1}{2}(\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{n^2}{\gcd(i,n)}})+n&\texttt{(1)}\\
&=\frac{1}{2}({\sum_{d\mid n}{\frac{n^2\varphi(n\div d)}{d}}})+n&\texttt{(2)}\\
&=n(\sum_{d\mid n}{\frac{1}{2}d\varphi(d)})+n&\texttt{(3)}
\end{aligned}
\]

• \(\texttt{(1)}\)：把上式拆成两个等价的式子的和除以二，发现错位相加就可以凑出来了。
• \(\texttt{(2)}\)：我们改为枚举 \(\gcd(i,n)\) 的值，不难发现 \(\gcd(i,n)\mid n\)。
• \(\texttt{(3)}\)：改为枚举上式中的 \(n\div d\)，不知道为什么，直接算上式会有除以二的误差。

然后就可以做了。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#pragma GCC optimize("Ofast", "inline", "-ffast-math")
#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
using namespace std;

int phi[10000005],t,n;
int ans[10000005];

void phi_table(int n) {
  phi[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (!phi[i]) {
      for (int j = i; j <= n; j += i) {
        if (!phi[j]) {
          phi[j] = j;
        }
        phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
      }
    }
  }
  for(int i=1;i<=n;i++){
  	for(int j=1;(i*j)<=n;j++){
  		ans[i*j]+=j*phi[j]/2;
	}
  }
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>t;
	phi_table(1e6);
	while(t--){
		cin>>n;
		cout<<((n*ans[n])+n)<<'\n';
	}
	return 0;
}