[BZOJ1004] [HNOI2008] Cards (Polya定理)

Description

　　小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有
多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方
案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.
两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗
成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以P的余数(P为质数).

Input

　　第一行输入 5 个整数：Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1<p<100)。n=Sr+Sb+Sg。
接下来 m 行，每行描述一种洗牌法，每行有 n 个用空格隔开的整数 X1X2...Xn，恰为 1 到 n 的一个排列，
表示使用这种洗牌法，第 i位变为原来的 Xi位的牌。输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代
替，且对每种洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。

Output

　　不同染法除以P的余数

Sample Input

1 1 1 2 7
2 3 1
3 1 2

Sample Output

HINT

　　有2种本质上不同的染色法RGB 和RBG，使用洗牌法231 一次可得GBR 和BGR，使用洗牌法312 一次可得BRG
和GRB。
　　100%数据满足 Max{Sr,Sb,Sg}<=20。

Source

Solution

　　$Polya$定理（$Burnside$引理）戳这

　　其作用就是求出有几种本质不同的染色方案

　　由于每种颜色的个数有限制，需要用三维的$0/1$背包求出每一种置换下不动点方案数（注意不洗牌也是一种置换）

　　呃，需要用乘法逆元，否则你会死得很难看

 #include <bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 int p, x[][], f[][][], siz[];

 bool vis[];

 int qpow(int a, int b)

 {

     int ans = ;

     for(; b; b >>= , a = a * a % p)

         if(b & ) ans = ans * a % p;

     return ans;

 }

 int main()

 {

     int sr, sg, sb, m, inv, ans = , tot;

     cin >> sr >> sb >> sg >> m >> p;

     for(int i = ; i <= m; ++i)

         for(int j = ; j <= sr + sg + sb; ++j)

             cin >> x[i][j];

     for(int i = ; i <= sr + sg + sb; ++i)

         x[m + ][i] = i;

     for(int z = ; z <= m + ; ++z)

     {

         memset(f, , sizeof(f));

         memset(vis, , sizeof(vis));

         memset(siz, , sizeof(siz));

         f[][][] = , tot = ;

         for(int i = ; i <= sr + sg + sb; ++i)

             if(!vis[i])

             {

                 ++tot;

                 for(int j = i; !vis[j]; j = x[z][j])

                     vis[j] = true, ++siz[tot];

             }

         for(int l = ; l <= tot; ++l)

             for(int i = sr; ~i; --i)

                 for(int j = sg; ~j; --j)

                     for(int k = sb; ~k; --k)

                     {

                         if(i >= siz[l])

                             f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - siz[l]][j][k]) % p;

                         if(j >= siz[l])

                             f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i][j - siz[l]][k]) % p;

                         if(k >= siz[l])

                             f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i][j][k - siz[l]]) % p;

                     }

         ans = (ans + f[sr][sg][sb]) % p;

     }

     cout << ans * qpow(m + , p - ) % p << endl;

     return ;

 }