[HNOI2009]最小圈

题目描述

对于一张有向图，要你求图中最小圈的平均值最小是多少，即若一个圈经过k个节点，那么一个圈的平均值为圈上k条边权的和除以k，现要求其中的最小值

输入输出格式

输入格式：

第一行2个正整数，分别为n和m

以下m行，每行3个数，表示边连接的信息，

输出格式：

一行一个数，表示最小圈的值，保留8位小数。

输入输出样例

输入样例#1：

4 5
1 2 5
2 3 5
3 1 5
2 4 3
4 1 3

输出样例#1：

3.66666667

说明

若设边权为v，那么n≤3000,m≤10000,v≤50000

%%%%SAC巨佬

使用二分求解。对于一个猜测的$mid$,只需判断是否存在平均值小于$mid$的回路。

如何判断?

假设存在一个包含$k$条边的回路,回路上各边权值为$w_1$ ,$w_2$ ,$...$,$w_k$ ,那么平均值小于$midv意味着:

$$w_1 +w_2 +...+w_k <k×mid$$

即:

$$(w_1 -mid)+(w_2 -mid)+...+(w_k -mid)<0$$

换句话说,只要把边$(a,b)$的权$w(a,b)$改成$w(a,b)-mid$,再判断新图中是否有负环即可。

存在负环,那么之前的不等式满足,即存在着更小的平均值,$r=mid$;不存在,$l=mid$。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 struct Node
 {
   int next,to;
   double dis;
 }edge[];
 const double eps=1e-;
 int num,head[],n,m;
 double dist[];
 bool vis[],flag;
 void add(int u,int v,double d)
 {
   num++;
   edge[num].next=head[u];
   head[u]=num;
   edge[num].to=v;
   edge[num].dis=d;
 }
 void dfs(int x,double zyys)
 {int i;
   vis[x]=;
   for (i=head[x];i;i=edge[i].next)
     {
       int v=edge[i].to;
       if (dist[v]>dist[x]+edge[i].dis-zyys)
     {
       dist[v]=dist[x]+edge[i].dis-zyys;
       if (vis[v])
         {
           flag=;
           return;
         }
       dfs(v,zyys);
     }
     }
   vis[x]=;
 }
 int main()
 {int i,u,v;
   double d;
   cin>>n>>m;
   for (i=;i<=m;i++)
     {
       scanf("%d%d%lf",&u,&v,&d);
       add(u,v,d);
     }
   double l=,r=50000.0;
   while (r-l>=eps)
     {
       double mid=(l+r)/2.0;
       flag=;
       memset(vis,,sizeof(vis));
       memset(dist,,sizeof(dist));
       for (i=;i<=n;i++)
     if (vis[i]==)
       dfs(i,mid);
       if (flag) r=mid;
       else l=mid;
     }
   printf("%.8lf\n",(l+r)/2.0);
 }