@codechef - RNG@ Random Number Generator

@description@
@solution@
- @part - 1@
- @part - 3@
@accepted code@
@details@

@description@

给定递推关系式：$$A_i=C_1A_{i-1} + C_2A_{i-2}+\dots+C_kA_{i-k}$$

并给定 $A_1, A_2, \dots , A_k$ 的值，求 $A_n$ 的值模 104857601。

input：

第一行给出两个整数 n，k。

第二行包含 k 个整数 A1，A2，...，Ak。

第三行包含 k 个整数 C1，C2，...，Ck。

output：

输出 An 的值。

constraints：

1 ≤ n ≤ 10^18

0 ≤ Ai, Ci < 104857601

1 ≤ k ≤ 30000

sample input：

3 5

1 2 3

4 5 6

sample output：

139

sample explanation：

$A_1 = 1,A2 = 2,A3 = 3$

$A4 = (3 × 4 + 2 × 5 + 1 × 6) \mod 104857601 = 28$

$A5 = (28 × 4 + 3 × 5 + 2 × 6) \mod 104857601 = 139$

@solution@

这道题，如果你学过常系数齐次线性递推，就是一道模板题。

所以以下内容我就来 BB 什么是常系数齐次线性递推。

@part - 1@

解决这道题的经典算法就是矩阵乘法（也可以分治 FFT 或者多项式求逆）。

设出系数矩阵$$M =

\begin{bmatrix}

C_1&C_2&C_3&\cdots &C_{k-1}&C_k\

1&0&0&\cdots&0&0\

0&1&0&\cdots&0&0\

\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \

0&0&0&\cdots&1&0\

\end{bmatrix}$$

并设 $B_i = \begin{bmatrix}A_{i+k-1}\\A_{i+k-2}\\\vdots\\A_{i+1}\\A_{i}\\\end{bmatrix}$

则：$$\begin{bmatrix}C_1&C_2&C_3&\cdots &C_{k-1}&C_k\1&0&0&\cdots&0&0\0&1&0&\cdots&0&0\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \ 0&0&0&\cdots&1&0\

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}A_{i-1}\A_{i-2}\A_{i-3}\\vdots\A_{i-k}\\end{bmatrix}=

\begin{bmatrix}A_{i}\A_{i-1}\A_{i-2}\\vdots\A_{i-k+1}\\end{bmatrix}

\[
即 $MB_{i-k}=B_{i-k+1}$，或者等价地 $MB_{i}=B_{i+1}$

于是就有 $M^{n-1}B_1=B_n$，而 $B_1$ 是已知的，做一个矩阵快速幂求 $M^{n-1}$ 即可。
然而这样的复杂度为 $O(k^3\log n)$，对于这道题并不能通过。

我们接下来就来优化这个算法。

### @part - 2@
【注：下面多项式中 x 并不是代表一个实数，而是一个什么都可以代表的东西。我一开始并没有理解，所以懵逼了好久 QAQ……】

定义多项式：
$$f(x) = x^k-C_1x^{k-1}-C_2x^{k-2}-...-C_k\]

通过一系列证明（证明我在下面part 3里面弄），发现：

\[f(M) = 0
\]

（右边那个 “0” 不是个数字，而是表示零矩阵）

我们用多项式除法，用 $x^n$ 除以 $f(x)$ 得到商式 $g(x)$ 与余式 $r(x)$。即：

\[x^n=f(x)*g(x) + r(x)
\]

代入矩阵 M 得到：

\[M^n=f(M)*g(M) + r(M)
\]

又因为 $f(M) = 0$，所以得到 $M^n=r(M)$。

其中多项式 $r(x)$ 的最高次数严格小于 k。

然后我们就把算法优化到 $O(k^4)$ 的了……？

我们再来看看我们要求解的是什么（下面那个 $r(M)$ 是 $M^{n-1}$ 的余式）：

\[B_n=M^{n-1}B_1 = r(M)B_1\\
=r_0B_1+r_1MB_1+r_2M^2B_1+...+r_{k-1}M^{k-1}B_1\\
=r_0B_1+r_1B_2+r_2B_{3}+...+r_{k-1}B_{k}\]

我们只需要 $B_n$ 中第最后一行的 $A_n$，所以有：

\[A_n=r_0A_1+r_1A_2+r_2A_3+...+r_{k-1}A_k
\]

时间复杂度在于多项式快速幂和取模 $O(k\log k\log n)$ 。

暴力写取模 $O(k^2\log n)$ ，以牺牲时间为代价降低代码复杂度，但是对于这道题而言是过不了的。

一个优化矩阵的算法最后代码全程不见矩阵……

@part - 3@

本节属于理性愉悦。

先给出几个概念吧：

特征值：若常数 $\lambda$ 对于矩阵 $M$，存在向量 $\vec x$ 使得：

\[Mx = \lambda x
\]

则称 $\lambda$ 为矩阵 $M$ 的特征值。

变形上式得 $(\lambda I - M)x = 0$，该方程有解的充要条件为 $\det(\lambda I - M) = 0$。

特征多项式：$\det(\lambda I - M)$ 其实是一个多项式，我们称这个多项式为矩阵 M 的特征多项式，记为 $p(x)$。

Cayley - Hamilton 定理：$$p(M) = 0$$

浅显，但并不易懂。该定理的证明超出了我的理解范围。所以这里并没有证明。

大家的数学知识如果比我不知道高到哪里去了，可以看这一篇博客。

对于矩阵 $M$，$$M =

\begin{bmatrix}

C_1&C_2&C_3&\cdots &C_{k-1}&C_k\

1&0&0&\cdots&0&0\

0&1&0&\cdots&0&0\

\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \

0&0&0&\cdots&1&0\

\end{bmatrix}$$

如果要求解它的特征多项式，则：

\[(\lambda I - M) =
\begin{bmatrix}
\lambda-C_1&-C_2&-C_3&\cdots &-C_{k-1}&-C_k\\
-1&\lambda&0&\cdots&0&0\\
0&-1&\lambda&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\
0&0&0&\cdots&-1&\lambda\\
\end{bmatrix}\]

以第一行展开求行列式，得到：

\[\det(\lambda I - M) =(\lambda-C_1)M_{11}-C_2M_{12}..-C_kM_{1k}
\]

其中 $M_{ij}$ 是 $M$ 的代数余子式。

可以发现去掉第一行和第 i 列，剩下的矩阵是一个下三角矩阵。直接对角线相乘就可以求出行列式了。

所以：

\[\det(\lambda I - M) =(\lambda-C_1)\lambda^{k-1}-C_2\lambda^{k-2}-...-C_k\\=\lambda^k-C_1\lambda^{k-1}-C_2\lambda^{k-2}-...-C_k
\]

结合上面的 Cayley - Hamilton 定理，我们就得到了我们想要的东西。

@accepted code@

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int G = 3;

const int MAXN = 30000*5;

const int MOD = 104857601;

int pow_mod(int b, int p) {

	int ret = 1;

	while( p ) {

		if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;

		b = 1LL*b*b%MOD;

		p >>= 1;

	}

	return ret;

}

struct Polynomial{

	void poly_copy(int *A, int *B, int n) {

		for(int i=0;i<n;i++)

			A[i] = B[i];

	}

	void poly_clear(int *A, int l, int r) {

		for(int i=l;i<r;i++)

			A[i] = 0;

	}

	void poly_revcopy(int *A, int *B, int n) {

		for(int i=0;i<n;i++)

			A[i] = B[n-i-1];

	}

	void ntt(int *A, int n, int type) {

		for(int i=0,j=0;i<n;i++) {

			if( i < j ) swap(A[i], A[j]);

			for(int l=(n>>1);(j^=l)<l;l>>=1);

		}

		for(int s=2;s<=n;s<<=1) {

			int t = (s>>1);

			int u = (type == -1) ? pow_mod(G, (MOD-1) - (MOD-1)/s) : pow_mod(G, (MOD-1)/s);

			for(int i=0;i<n;i+=s) {

				for(int j=0,p=1;j<t;j++,p=1LL*p*u%MOD) {

					int x = A[i+j], y = 1LL*p*A[i+j+t]%MOD;

					A[i+j] = (x + y)%MOD, A[i+j+t] = (x + MOD - y)%MOD;

				}

			}

		}

		if( type == -1 ) {

			int inv = pow_mod(n, MOD-2);

			for(int i=0;i<n;i++)

				A[i] = 1LL*A[i]*inv%MOD;

		}

	}

	int tmp1[MAXN + 5], tmp2[MAXN + 5];

	void poly_mul(int *A, int *B, int *C, int n, int m) {

		int len; for(len = 1;len < n+m-1;len <<= 1);

		poly_copy(tmp1, A, n); poly_clear(tmp1, n, len);

		poly_copy(tmp2, B, m); poly_clear(tmp2, m, len);

		ntt(tmp1, len, 1); ntt(tmp2, len, 1);

		for(int i=0;i<len;i++)

			C[i] = 1LL*tmp1[i]*tmp2[i]%MOD;

		ntt(C, len, -1);

	}

	int tmp3[MAXN + 5];

	void poly_inv(int *A, int *B, int n) {

		if( n == 1 ) {

			B[0] = pow_mod(A[0], MOD-2);

			return ;

		}

		int len; for(len = 1;len < (n<<1);len <<= 1);

		poly_inv(A, B, (n + 1) >> 1);

		poly_copy(tmp3, A, n); poly_clear(tmp3, n, len);

		ntt(tmp3, len, 1); ntt(B, len, 1);

		for(int i=0;i<len;i++) B[i] = 1LL*B[i]*(2 + MOD - 1LL*tmp3[i]*B[i]%MOD)%MOD;

		ntt(B, len, -1); poly_clear(B, n, len);

	}

	int tmp4[MAXN + 5], tmp5[MAXN + 5], tmp6[MAXN + 5];

	void poly_mod(int *A, int *B, int *R, int n, int m) {

		poly_revcopy(tmp4, B, m); poly_clear(tmp5, 0, 2*(n-m+1)); poly_inv(tmp4, tmp5, n-m+1);

		poly_revcopy(tmp4, A, n); poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, n-m+1);

		poly_revcopy(tmp4, tmp6, n-m+1); poly_copy(tmp5, B, m);

		poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, m);

		for(int i=0;i<m-1;i++)

			R[i] = (A[i] + MOD - tmp6[i])%MOD;

	}

	int tmp7[MAXN + 5], tmp8[MAXN + 5];

	void poly_pow(int *A, int *B, int *mod, ll p, int n) {

		poly_copy(tmp7, A, n); B[0] = 1;

		while( p ) {

			if( p & 1 ) {

				poly_mul(B, tmp7, tmp8, n, n), poly_copy(B, tmp8, 2*n-1);

				poly_mod(B, mod, tmp8, 2*n-1, n), poly_copy(B, tmp8, n-1), poly_clear(B, n-1, 2*n-1);

			}

			poly_mul(tmp7, tmp7, tmp8, n, n), poly_copy(tmp7, tmp8, 2*n-1);

			poly_mod(tmp7, mod, tmp8, 2*n-1, n), poly_copy(tmp7, tmp8, n-1), poly_clear(tmp7, n-1, 2*n-1);

			p >>= 1;

		}

	}

}poly;

int A[MAXN + 5], C[MAXN + 5];

int f[MAXN + 5], p[MAXN + 5], r[MAXN + 5];

int main() {

	ll N; int K;

	scanf("%d%lld", &K, &N);

	for(int i=1;i<=K;i++)

		scanf("%d", &A[i]);

	for(int i=1;i<=K;i++)

		scanf("%d", &C[i]);

	for(int i=0;i<K;i++)

		f[i] = (MOD - C[K-i]);

	f[K] = p[1] = 1;

	poly.poly_pow(p, r, f, N-1, K+1);

	int ans = 0;

	for(int i=0;i<K;i++)

		ans = (ans + 1LL*r[i]*A[i+1]%MOD)%MOD;

	printf("%d\n", ans);

}

@details@

注意因为要多次使用某些数组，所以用完就清是个好习惯（然后就被卡常）。

余式的次数是严格小于除式的次数，不能取等。