LIS问题（DP解法）---poj1631

题目链接：http://poj.org/problem?id=1631

这个题题目有些难看懂hhh，但实质就是求LIS--longest increasing sequence。

以下介绍LIS的解法模板：

一.O(n^2)解法

用a数组存储数据，f[i]表示以a[i] 结尾的最长子序列的长度，这样max(f[i])就是所求结果。

代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 int n,p;
 int a[],f[];
 int res;

 int main(){
     scanf("%d",&n);
     while(n--){
         res=;
         scanf("%d",&p);
         for(int i=;i<=p;i++)
             scanf("%d",&a[i]),f[i]=;
         for(int i=;i<=p;i++)
             for(int j=;j<i;j++)
                 if(a[j]<a[i]){
                     f[i]=max(f[i],f[j]+);
                     if(f[i]>res) res=f[i];
                 }
         printf("%d\n",res);
     }
     return ;
 }

但是算法复杂度为n2，题目p为4e4，还是多组询问，明显会超时。

二 . O(nlogn)解法

假设数字序列为a[N]（也可不用保存，一边读入一边处理），我们会用到一个数组f[N]，f[k]保存的是数组a中所有长为k的不下降子序列最后一个元素的最小值（下面将简称为最小最后元素），显然f的长度len即为所求。而且容易用反证法证明这个数组是递增的，若存在i<j,且f[i]>f[j],可以这样想，既然存在一个长为j的且最后一个元素为f[j]的不下降子串，则必然存在一个长为i(i<j)且最后一个元素为f[j]的不下降子串，所以f[i]<=f[j],与假设矛盾。初始化的时候，f中只有一个元素，即数字序列的第一个元素，显然f[1]=a[1]，接着，每次读入一个数字时，相当数组a新增一个元素，我们设为tmp，我们的任务就是维持f数组的定义，具体操作如下：若tmp>f[len]，则f[++len]=tmp，这个容易理解，若tmp<=f[1]，则f[1]=tmp，这两种情况都容易理解，关键在于tmp>f[1]&&tmp<=f[len]，这时需将f数组中第一个（从1到len）大于tmp的数字更新为tmp（这么做的原因是为了使后面输入时形成更长的上升子序列，不理解的话可以举个例子好好想想），因为f是有序的，所以可以使用二分查找，然后更新。当a数组确定后（数据读入完成），数组f也就确定了，此时数组f的长度就是数组a中以第一个数开头的最长不下降子序列的长度。读入数据使用一层循环，查找更新需一层循环，由于查找时用了二分，所以总的时间复杂度为O(nlogn)。至此算法就结束了。

AC代码如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,p;
int f[];
int len;

int main(){
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        len=;
        scanf("%d",&p);
        int tmp;
        scanf("%d",&tmp);
        f[++len]=tmp;
        p--;
        while(p--){
            scanf("%d",&tmp);
            if(tmp>f[len]) f[++len]=tmp;
            else if(tmp<=f[]) f[]=tmp;
            else{
                int l=,r=len,m;
                while(l<=r){
                    m=(l+r)/;
                    if(f[m]>=tmp) r=m-1;else l=m+;
                }
                f[l]=tmp;
            }
        }
        printf("%d\n",len);
    }
    return ;
}

这个是求最长上升子序列。

求最长不下降子序列的代码如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,p;
int f[];
int len;

int main(){
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        len=;
        scanf("%d",&p);
        int tmp;
        scanf("%d",&tmp);
        f[++len]=tmp;
        p--;
        while(p--){
            scanf("%d",&tmp);
            if(tmp>=f[len]) f[++len]=tmp;
            else if(tmp<f[]) f[]=tmp;
            else{
                int l=,r=len,m;
                while(l<=r){
                    m=(l+r)/;
                    if(f[m]>tmp) r=m-;
                    else l=m+;
                }
                f[l]=tmp;
            }
        }
        printf("%d\n",len);
    }
    return ;
}