【TJOJI\HEOI2016】求和

【TJOI/HEOI2016】求和

这题好难啊！！

斯特林数+NTT。

首先我们将第二类斯特林数用容斥展开，具体原理不解释了。

\(\displaystyle S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^{j}(-1)^{k}C_j^k(j-k)^i=\sum_{k=0}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}\cdot\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\)。

我们交换一下\(\sum\)的顺序：

\(\displaystyle f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{i=0}^{n}S(i,j)\)。这里\(i\)从0开始枚举是没有问题的，因为\(j>i时，S(i,j)=0\)。

将斯特林数展开：

\[\displaystyle f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{i=0}^{n}\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\cdot\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\\
=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{i=0}^n\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}
\]

很容易看出，最后一个\(\sum\)是一个等比数列求和。

于是我们设\(g(i)=\frac{i^{n+1}-1}{(i-1)*i!}，特别地，g(0)=1,g(1)=n+1\)。

于是\(\displaystyle f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}g(j-k)\)

我们又设\(h(i)=\frac{(-1)^i}{i!}\)，则\(\displaystyle f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{k=0}^jh(k)g(j-k)\)

\(\displaystyle \sum_{k=0}^jh(k)g(j-k)\)是个卷积，可以用NTT来计算。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 998244353
#define N 200005

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n;
ll fac[N],inv[N];
ll ksm(ll t,ll x) {
	ll ans=1;
	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
		if(x&1) ans=ans*t%mod;
	return ans;
}
ll a[N<<2],b[N<<2],q[N];
const ll g=3;
ll tem[N<<2];
int rev(int x,int len) {
	int ans=0;
	for(;len;len--,x>>=1) ans=ans<<1|x&1;
	return ans;
}

void NTT(ll *a,int x,int flag) {
	int n=1<<x;
	for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev(i,x)) swap(a[i],a[rev(i,x)]);
	tem[0]=1;
	for(int s=1;s<=x;s++) {
		int len=1<<s,mid=len>>1;
		ll w=flag==1?ksm(g,(mod-1)/len):ksm(g,mod-1-(mod-1)/len);
		for(int i=1;i<mid;i++) tem[i]=tem[i-1]*w%mod;
		for(int i=0;i<n;i+=len) {
			for(int j=0;j<mid;j++) {
				ll u=a[i+j];
				ll v=tem[j]*a[i+j+mid]%mod;
				a[i+j]=(u+v)%mod;
				a[i+j+mid]=(u-v+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if(flag==-1) {
		ll inv=ksm(n,mod-2);
		for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;
	}
}

int bl[1000];
int main() {
	n=Get();
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
	for(int i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;

	int flag=1;
	for(int i=0;i<=n;i++,flag*=-1) {
		if(flag==1) a[i]=inv[i];
		else a[i]=(mod-inv[i])%mod;
	}
	q[0]=1;
	q[1]=n+1;

	for(int i=2;i<=n;i++) {
		q[i]=((ksm(i,n+1)-1)*ksm(i-1,mod-2)%mod+mod)%mod;
	}
	for(int i=0;i<=n;i++) b[i]=q[i]*inv[i]%mod;

	int x=0;
	for(int len=n<<2;len;len>>=1,x++);
	NTT(a,x,1),NTT(b,x,1);
	for(int i=0;i<(1<<x);i++) a[i]=a[i]*b[i]%mod;
	NTT(a,x,-1);

	ll ans=0;
	ll p=1;

	for(int i=0;i<=n;i++) {
		(ans+=p*fac[i]%mod*a[i]%mod)%=mod;
		p=(p<<1)%mod;
	}

	cout<<ans;
	return 0;
}