SPOJ COT3.Combat on a tree(博弈论 Trie合并)

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\(Description\)

给定一棵\(n\)个点的树，每个点是黑色或白色。两个人轮流操作，每次可以选一个白色的点，将它到根节点路径上的所有点染黑。不能操作的人输，求先手是否能赢。如果能，输出第一步选择哪些节点能赢。

\(n\leq10^5\)。

\(Solution\)

Orz huzecong。

对于叶子节点，如果能染色，\(SG(x)=1\)，否则\(=0\)。

考虑从下往上算每棵子树的\(SG\)值。设\(SG(x)\)表示\(x\)子树的\(SG\)值，\(g(x)\)表示对\(x\)这棵子树操作能得到的后继的\(SG\)值集合（只考虑\(x\)子树），那么\(SG(x)=\mathbb{mex}\{g(x)\}\)。

考虑如何计算\(g(x)\)。令\(sum[x]=sg(v_1)\ \mathbb{xor}\ sg(v_2)\ \mathbb{xor}...,\ v_i\in son[x]\)。

若\(x\)是黑点，假设这次操作选了\(v_i\)子树中的某个点，那么其它子树状态不变，\(v_i\)子树的后继状态会变成\(g(v_i)\)中的某个，所以\(g(x)=sum[x]\ \mathbb{xor}\ sg(v_i)\ \mathbb{xor}\ (g(v_i)中的某个值)\)。

把子树内每个\(g(v_i)\)整体\(\mathbb{xor}\)一个数，合并起来，就可以得到\(g(x)\)了。

若\(x\)是白点，多了一种选\(x\)的后继，选\(x\)后得到状态的\(SG\)值就是\(sum[x]\)。所以在\(g(x)\)中再插入一个\(sum[x]\)即可。

还要支持求\(\mathbb{mex}\)，可以用\(01Trie\)维护。合并的时候可以启发式合并，\(O(n\log^2n)\)，也可以类似线段树合并做到\(O(n\log n)\)。

对于第二问，考虑选择一个节点后局面的\(SG\)值。容易发现就是除去它到根节点路径上的点的所有点的\(SG\)值的异或和。

记\(up[x]\)表示除去\(x\)到根节点路径上的点外，所有节点的\(SG\)值异或和，那么\(up[x]=up[fa[x]]^{\wedge}sum[fa[x]]^{\wedge}SG(x)\)。选择\(x\)后\(x\)的各棵子树是独立的，局面的\(SG\)值就是\(up[x]^{\wedge}sum[x]\)（\(up\)也可以直接\(DFS\)的时候传个参）。

所以如果\(up[x]^{\wedge}sum[x]=0\)，选这个点就是必胜的。

这个\(SG\)值的最大值是啥啊...

注意\(Trie\)要特判叶子的地方（尤其是Merge，注意像线段树合并一样判下叶子）（我怎么老是写错...）。

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//0.11s	35M
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define Bit 16
#define gc() getchar()
#define MAXIN 500000
//#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;

int Enum,H[N],nxt[N<<1],to[N<<1],root[N],sg[N],sum[N],up[N];
bool col[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct Trie
{
	#define S N*20
	#define ls son[x][0]
	#define rs son[x][1]
	int tot,son[S][2],tag[S];
	bool full[S];
	#define Update(x) full[x]=full[ls]&&full[rs]
	inline void Upd(int x,int v,int dep)
	{
//		if(dep<0) return;
		if(v>>dep&1) std::swap(ls,rs);
		tag[x]^=v;
	}
	inline void PushDown(int x,int dep)
	{
		if(dep&&tag[x]) Upd(ls,tag[x],dep-1), Upd(rs,tag[x],dep-1), tag[x]=0;
	}
	void Insert(int &x,int v,int dep)
	{
		x=++tot;
		if(dep<0) {full[x]=1; return;}
		v>>dep&1 ? Insert(rs,v,dep-1) : Insert(ls,v,dep-1);
	}
	int Merge(int x,int y,int dep)
	{
		if(!x||!y) return x|y;
		if(dep<0) return x;
		PushDown(x,dep), PushDown(y,dep);
		ls=Merge(ls,son[y][0],dep-1), rs=Merge(rs,son[y][1],dep-1);
		Update(x); return x;
	}
	int Mex(int x,int dep)
	{
		if(!x||dep<0) return 0;
		PushDown(x,dep);
		return full[ls]?(1<<dep)+Mex(rs,dep-1):Mex(ls,dep-1);
	}
}T;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
	return now;
}
inline void AE(int u,int v)
{
	to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum;
	to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum;
}
void DFS1(int x,int fa)
{
	if(!col[x]) T.Insert(root[x],0,Bit);
	int s=0;
	for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
		if((v=to[i])!=fa)
			DFS1(v,x), s^=sg[v], T.Upd(root[v],sg[v],Bit), root[x]=T.Merge(root[x],root[v],Bit);
	if(s) T.Upd(root[x],s,Bit);
	sum[x]=s, sg[x]=T.Mex(root[x],Bit);
}
void DFS2(int x,int fa)
{
	up[x]=up[fa]^sum[fa]^sg[x];
	for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
		if((v=to[i])!=fa) DFS2(v,x);
}

int main()
{
	const int n=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) col[i]=read();
	for(int i=1; i<n; ++i) AE(read(),read());
	DFS1(1,0), sum[0]=sg[1], DFS2(1,0);
	bool f=0;
	for(int x=1; x<=n; ++x) if(!col[x]&&!(sum[x]^up[x])) f=1, printf("%d\n",x);
	if(!f) puts("-1");

	return 0;
}