Luogu4547 THUWC2017 随机二分图 概率、状压DP

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考虑如果只有$0$组边要怎么做。因为$N \leq 15$，考虑状压$DP$。设$f_i$表示当前的匹配情况为$i$时的概率($i$中$2^0$到$2^{N-1}$表示左半边的匹配情况，$2^N$到$2^{2N-1}$表示右半边的匹配情况)，转移就是随便取一条边将其起终边对应的位置去掉然后乘上$0.5$。

然而会发现这会重复转移，也就是说先选择$a$再选择$b$与先选择$b$再选择$a$在计算中被算作了两种情况，但实际上只能够算作一种。我们考虑固定$DP$的顺序。我们每一次选择$lowbit(i)$对应的点进行转移，这样转移就是左部分的点从小到大连边，转移也就不会重复了。

接着我们考虑$1$组边和$2$组边。首先我们考虑将这两组边中的两条边拆开考虑，这样会有：只选择第一条边参与贡献概率为$50\%$，只选择第二条边参与贡献概率为$50\%$，两条边同时参与贡献概率为$25\%$。发现只有两条边同时参与贡献时的概率是有问题的，所以我们考虑加上一条边。这一条边对应这一组的两条边，对于$1$组边给予其$25\%$的概率，对于$2$组边给予其$-25\%$的概率，这样概率就是对的了。这一条边要在较小的那一个左端点计算的时候进行计算。

上面那个不是很好理解，慢慢思考一下qwq

最后，$2^{30}$的数组是不可能开下的，考虑到有很多冗余状态，使用记忆化搜索就可以通过这道题了。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define ld long double
 //This code is written by Itst
 using namespace std;

 inline int read(){
     int a = ;
     bool f = ;
     char c = getchar();
     while(c != EOF && !isdigit(c)){
         if(c == '-')
             f = ;
         c = getchar();
     }
     while(c != EOF && isdigit(c)){
         a = (a << ) + (a << ) + (c ^ '');
         c = getchar();
     }
     return f ? -a : a;
 }

 const int MAXN =  * ;
 const int MOD = 1e9 + ;
 struct Edge{
     int start , end , belStart , belEnd;
     long long p;
 }now[MAXN * ];
 int range[] , num2[] , poww2[] , N , cnt , inv2 , inv4;
 map < int , int > dp;

 inline void add(int x , int y , int belx , int bely , int p){
     now[++cnt].start = x;
     now[cnt].end = y;
     now[cnt].belStart = belx;
     now[cnt].belEnd = bely;
     now[cnt].p = p;
 }

 bool operator <(Edge a , Edge b){
     return a.start < b.start;
 }

 int dfs(int dir){
     if(dp.count(dir))
         return dp[dir];
     if(!dir)
         return ;
     int t = num2[dir & -dir] , sum = ;
     for(int i = range[t] ; i < range[t + ] ; ++i)
         if(dir & poww2[now[i].end])
             if(now[i].belStart == -)
                 sum = (sum + dfs(dir ^ poww2[t] ^ poww2[now[i].end]) * now[i].p) % MOD;
             else
                 if((dir & poww2[now[i].belStart]) && (dir & poww2[now[i].belEnd]))
                     sum = (sum + dfs(dir ^ poww2[t] ^ poww2[now[i].end] ^ poww2[now[i].belStart] ^ poww2[now[i].belEnd]) * now[i].p) % MOD;
     return dp[dir] = sum;
 }

 inline int poww(long long a , int b){
     int times = ;
     while(b){
         if(b & )
             times = times * a % MOD;
         a = a * a % MOD;
         b >>= ;
     }
     return times;
 }

 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("4547.in" , "r" , stdin);
     //freopen("4547.out" , "w" , stdout);
 #endif
     N = read();
     for(int i =  ; i < N ; ++i)
         num2[ << i] = i;
     poww2[] = ;
     for(int i =  ; i < (N << ) ; ++i)
         poww2[i] = poww2[i - ] << ;
     inv2 = poww( , MOD - );
     inv4 = poww( , MOD - );
     for(int M = read() ; M ; --M){
         int t = read() , x = read() -  , y = read() + N - ;
         add(x , y , - , - , inv2);
         if(t){
             int belx = read() -  , bely = read() + N - ;
             add(belx , bely , - , - , inv2);
             if(belx < x){
                 swap(x , belx);
                 swap(y , bely);
             }
             if(belx != x && bely != y)
                 add(x , y , belx , bely , t ==  ? inv4 : MOD - inv4);
         }
     }
     sort(now +  , now + cnt + );
     for(int i =  ; i <= cnt ; ++i)
         if(!range[now[i].start])
             range[now[i].start] = i;
     range[N] = cnt + ;
     printf("%lld\n" , 1ll * dfs(( << (N << )) - ) * poww( , N) % MOD);
     return ;
 }