Luogu 1962 斐波那契数列（矩阵，递推）

Luogu 1962 斐波那契数列（矩阵，递推）

Description

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

f(1) = 1

f(2) = 1

f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 为整数)

请你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

Input

第 1 行：一个整数 n

Output

第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值

Sample Input

5

Sample Output

5

Http

Luogu：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1962

Source

递推，矩阵

解决思路

普通的斐波那契数列大家都懂，用递推方程一个一个递推就可以了，但是本题的数据范围巨大，若是用递推的方法肯定会超时，那么我们在这里介绍一下矩阵的方法。

关于矩阵的知识，请到我的这篇文章查看。

那么我们通过简单的推理可得矩阵递推方程：

\[F_i=F_{i-1}*T=\begin{bmatrix} f_{i-1} & f_{i-2} \\ 0& 0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_i=f_{i-1}+f_{i-2} & f_{i-1} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\]

那么剩余的部分就是矩阵快速幂来完成了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define ll long long//注意用长整形，因为有可能会爆int

const int Mod=1000000007;
const int inf=2147483647;

class Matrix//定义矩阵
{
public:
    ll M[2][2];
    Matrix()
    {
        memset(M,0,sizeof(M));
    }
    Matrix(int Arr[2][2])//定义两个方便的矩阵初始化
    {
        for (int i=0;i<2;i++)
            for (int j=0;j<2;j++)
                M[i][j]=Arr[i][j];
    }
};

Matrix operator * (Matrix A,Matrix B)//重载乘号操作
{
    Matrix Ans;
    for (int i=0;i<2;i++)
        for (int j=0;j<2;j++)
            for (int k=0;k<2;k++)
                Ans.M[i][j]=(Ans.M[i][j]+A.M[i][k]*B.M[k][j]%Mod)%Mod;
    return Ans;
}

ll n;

int main()
{
    cin>>n;
    if (n<=2)
    {
        cout<<1<<endl;
        return 0;
    }
    n=n-2;
    int a[2][2]={{1,1},{0,0}};//初始矩阵
    int b[2][2]={{1,1},{1,0}};//即上文的T
    Matrix A(a);
    Matrix B(b);
    while (n!=0)//快速幂
    {
        if (n&1)
            A=A*B;
        B=B*B;
        n=n>>1;
    }
    cout<<A.M[0][0]<<endl;
    return 0;
}