[Math] Deferred Acceptance Algorithm

约会配对问题

一．立即接受算法：

对于约会的配对，大家都去追自己最心仪的女生。而这个女生面对几位追求者，要立刻做个决定。

被拒绝的男生们调整一下心情，再去追求心中的 No. 2。以此类推。

这样做法有一个严重的问题：当你被你的No.1拒绝后，再去追求你的No.2的时候，你心中的No.2可能已经在第一轮中选择了其他人。

但坑爹的是，有可能你正是你心中No.2心中的No.1，但是她并不知道。所以她在第一轮中，因为没有被你追求，而屈就他人。比及你在第一轮中表白失败，再去找你的No.2 时，已然晚矣。

假设班上三男（分别是A，B，C），三女（分别是x，y，z），见图一（左女右男）：

他们心中对异性的排名见图二。在女x的心中A>B，意味着A要好于B。

第一轮中，男生们向心中的No.1女示好，即A，B两男向心中最喜欢的x女示好，而C男向y女示好。如图三所示。

 （在第一轮，女y 只有一个追求者，只能屈就）

如果采用立即接受算法，此轮之后的结果是，x-A，y-C两对结成情侣。注意，y女虽然心中首选是B男，但是由于B男在此轮中正在追逐x女，无奈下y女屈就于唯一来献殷勤的C男。比及第二轮开始时，唯一还没配对的就是z女和B男了，所以B男只能接受z女。

最后的结果是x-A，y-C，z-B三对恋人。

注意：y女和B男两人都更愿意离开自己的现任伴侣而彼此在一起。

这种不稳定的状态就是很多文学影视作品的来源哈。在数学上，这也恰恰被称为是“不稳定”的组合。顾名思义，我们希望能够有种算法，给我们的结果是所有配对都是稳定的。

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二．延迟接受算法

延迟接受算法的操作：每个男生在第一轮中向自己心中的No.1示爱。但是各位姑娘们不用立即决定，而是先hold住了。

在第二轮中，每个男生再向心中的No.2示爱。从第二轮开始，每位姑娘们只保留自己到现在为止所收获的最心仪的男生（但是不用答应他，只hold在心理），而拒绝其他所有人。

而被拒绝的男生（也就是现在尚没有人hold着你的男生）则继续在下一轮中向心中排名的下一个姑娘表白。

以此类推，一轮轮继续下去，直到所有想示爱的男生都示完为止。此时，每个手中有offer的姑娘，可以选择接受。

　　(感觉就是先让女生获得完全信息)

以上就是立即接受算法的做法。大家算一下，就会发现，在我们这个简单的例子中，最后的结果是x-A，y-B，z-C三组恋人终成眷侣。而这是一稳定的结果。

所有6人中，你不可能找到一男一女符合以下条件：他们都更愿意抛弃已有的伴侣而与彼此在一起。

延迟接受算法能够从数学上证明是一定会产生稳定配对的算法。这使它成为一个重要的工具，因为这类的配对问题在现实生活中太常见了。罗斯在《共享经济》中介绍了他将延迟接受算法分别运用于肾脏移植市场，全国住院医生配对程市场和高中择校系统，实现了稳定的配对，取得了非常好的成果。

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Nice.