[计数dp] 整数划分(模板题+计数dp+完全背包变种题)

计数类 dp 可分为 计数 dp 和数位统计 dp。大多是用来统计方案数什么的，特别强调 不重不漏，在此还是根据各个题的特点将计数 dp 和数位 dp 分开整理。其实数位 dp 的题目会相对多很多…

计数dp 模板题

AcWing 900.整数划分

重点： 计数 dp、完全背包问题抽象

首先模拟下样例便于理解本题：

5 = 5
  = 4 + 1
  = 3 + 2
  = 3 + 1 + 1
  = 2 + 1 + 1 + 1
  = 2 + 2 + 1
  = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
共七种划分方式

故我们可以将问题抽象为一个容量为 n 的背包，有 n 个体积为 1 ~ n 的物品，求恰好将该背包的方案数。每种物品可以使用无限次，故该问题是一个完全背包问题。

思路：

• 状态定义：
  • f[i][j]：从 1~i 中选，且总体积恰好为 j 的选法数量
• 状态转移：
  • 分类依据：根据最后一个物品选择个数进行状态划分，和完全背包问题的状态划分一致。
    • 第 i 个物品选 0 个：f[i-1][j]
    • 第 i 个物品选 1 个：f[i-1][j - i]
    • 第 i 个物品选 2 个：f[i-1][j - 2*i]
    • 第 i 个物品选 s 个：f[i-1][j - s*i]
  • 至此，朴素版完全背包问题就到此为止。但是，完全背包问题有一个非常厉害的优化方式。建议阅读：[背包] 背包问题算法模板(模板)
    • f[i][j] = f[i-1][j]+f[i-1][j-1]+f[i-1][j-i*2]+...+f[i-1][j-i*s]
    • f[i][j-i] = f[i-1][j-i]+f[i-1][j-i*2] +..+ f[i-1][j-i*s]
    • 仔细对比，发现 f[i][j-i] 和 f[i][j] 的后半段一样，故：
    • f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-i]
  • 故状态转移方程为：f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-i]
  • 和完全背包问题一样，也可以优化掉第一维，即 f[i]=f[j]+f[j-i]。体积从小到大循环即可
• 状态初始化：f[0]=1，一个数都不选的方案是 1

完全背包代码：

const int mod = 1e9 + 7;
void solve() {
	int n;
	cin >> n;
	int f[n + 1] = {1};
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = i; j <= n; ++j)
			f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;
	cout << f[n] << endl;
}

除了完全背包的写法及状态定义外，也有一种其它的状态定义方式，状态转移方程不同但是却能得到相同的结果…

思路：

• 状态定义：
  • f[i][j] ：所有总和是 i，并且恰好表示成 j 个数的和的方案的数量
• 状态转移：
  • 分类依据：根据表示成的这 j 个数中是否包含 1，来进行集合划分
    • 如果包含 1，等价于 f[i-1][j-1]，等价于和是 i-1 数量是 j-1 的选法数量
    • 如果每个数大于 1，则等价于将这 j 个数全部减去一个 1，则总数减去了 j，其和 f[i-j][j] 方案数相等。
  • 故状态转移方程 f[i][j] = f[i-1][j-1]+f[i-j][j]
  • 答案即为 ans = f[n][1] + f[n][2] +...+f[n][n]
• 状态初始化：f[0][0] = 1 代表总和是 0 的时候选 0 个的方案数是 1

代码：

const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e3 + 10;
int f[N][N];
void solve() {
	int n;
	cin >> n, f[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= i; ++j)
			f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]) % mod;
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)ans = (ans + f[n][i]) % mod;
	cout << ans << endl;
}

故可看出，同一个 dp 问题，不同的思考方式，不同的集合划分，不同的状态转移方程，只有思路是正确的，那么就是可行的。当然，在本题，划分方式不同导致了状态转移方程的不同，进而导致了求解答案时也不同。

参考

• 整数划分——计数类DP（c++）
• 整数划分
• 计数型动态规划算法学习笔记