【知识总结】回文自动机（Palindrome_Automaton）

参考资料：Palindromic Tree——回文树【处理一类回文串问题的强力工具】（请注意，其中似乎有一些错误）

回文自动机似乎和回文树是同一个东西qwq？

回文自动机（PAM）是一种处理回文串的工具。它的每个结点表示一个本质不同的回文串，转移边\(c\)表示在当前字符串的首尾分别加一个字符\(c\)。

回文自动机由两棵树组成，根结点分别称为\(odd\)和\(even\)。\(even\)表示空串，长度为\(0\)，长度为偶数的回文串在它的子树上；\(odd\)表示一个“虚拟”的串，长度为\(-1\)，长度为奇数的回文串在它的子树上。\(odd\)的直接儿子表示只有一个字母的回文串。沿着转移边\(c\)走一步就在当前串首尾各加上一个字符\(c\)。和AC自动机类似，一个结点的\(fail\)指针指向它的最长回文真后缀（定义\(fail[even]=odd\)）。比如wqwqqwqwq的回文自动机长这样（数字表示结点编号，红箭头表示\(fail\)指针）：

我画着画着发现这个字符串里回文串比想象的多

和后缀自动机类似，构造回文自动机也采用每次插入一个字符的方法。设原串是\(S\)，当前位置是\(pos\)，要加入的字符是\(c\)，则可能会多一些以字符\(c\)结尾的回文串。而多的这些字符串可以看成是一个回文串\([a,pos-1]\)满足\(S_{a-1}=c\)后面加一个字符\(c\)。于是要找到最长的这样的回文串\([a,pos-1]\)，即从\(pos-1\)这个结点开始爬\(fail\)链，直到\(p\)点满足\(S_{pos-len[p]-1}=S_{pos}\)。爬\(fail\)链最终会到长度为\(-1\)的\(even\)，由于\(pos-(-1)-1=pos\)，所以这个式子最终一定会成立。这个过程即代码中的\(get\_fail\)函数。

设第一个满足如上条件的点是\(p\)。如果\(p\)已经有了\(c\)字符的转移，则直接增加它的\(cnt\)（该字符串出现次数）即可；如果没有，则新建结点\(q\)，\(q\)的长度显然是\(p\)的长度加\(2\)，\(q\)的\(fail\)是从\(p\)的\(fail\)往上爬，找到第一个在后面加字符\(c\)仍为回文串的地方（方法同上述\(get\_fail\)），把它加字符\(c\)后转移到的点作为\(q\)的\(fail\)。

注意，如果要统计每个回文串的出现次数（即\(cnt\)），建完后要在\(fail\)树上做一遍树上递推（因为插入的时候只在当前点结尾的最长回文串的结点\(cnt\)上加\(1\)。如果一个串出现了，它的最长回文真后缀一定也出现了）。由于回文自动机是两棵树，所以不需要像后缀自动机求\(Right\)集合大小一样拓扑排序，只要按标号从大到小做即可。

题目：洛谷3649

把每个结点的长度\(len\)乘上出现次数\(cnt\)然后加起来就好了。

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <string>
#define _ 0
using namespace std;

namespace zyt
{
	const int N = 3e5 + 10;
	template<typename T>
	inline bool read(T &x)
	{
		char c;
		bool f = false;
		x = 0;
		do
			c = getchar();
		while (c != EOF && c != '-' && !isdigit(c));
		if (c == EOF)
			return false;
		if (c == '-')
			f = true, c = getchar();
		do
			c = getchar();
		while (isdigit(c));
		if (f)
			x = -x;
		return true;
	}
	inline bool read(string &s)
	{
		static char buf[N];
		if (scanf("%s", buf) == -1)
			return false;
		else
		{
			s = buf;
			return true;
		}
	}
	template<typename T>
	inline void write(T x)
	{
		static char buf[20];
		char *pos = buf;
		if (x < 0)
			putchar('-'), x = -x;
		do
			*pos++ = x % 10 + '0';
		while (x /= 10);
		while (pos > buf)
			putchar(*--pos);
	}
	const int CH = 26;
	typedef long long ll;
	string s;
	namespace Palindrome_Auto_Machine
	{
		struct node
		{
			int len, cnt, fail, s[CH];
		}tree[N];
		int cnt, last, odd, even, pos;
		char s[N];
		void init()
		{
			last = even = 0, odd = 1, cnt = 1, pos = 0;
			s[0] = '#';
			tree[odd].len = -1, tree[even].len = 0;
			tree[odd].fail = tree[even].fail = odd;
		}
		int get_fail(int p)
		{
			while (s[pos - tree[p].len - 1] != s[pos])
				p = tree[p].fail;
			return p;
		}
		void insert(const char c)
		{
			s[++pos] = c;
			int x = c - 'a', p = get_fail(last);
			if (!tree[p].s[x])
			{
				tree[++cnt].len = tree[p].len + 2;
				tree[cnt].fail = tree[get_fail(tree[p].fail)].s[x];
				tree[p].s[x] = cnt;
			}
			last = tree[p].s[x];
			++tree[last].cnt;
		}
		void build(const string &str)
		{
			for (int i = 0; i < str.size(); i++)
				insert(str[i]);
			for (int i = cnt; i > 0; i--)
				tree[tree[i].fail].cnt += tree[i].cnt;
		}
		inline ll solve()
		{
			ll ans = 0;
			for (int i = 0; i <= cnt; i++)
				ans = max(ans, (ll)tree[i].cnt * tree[i].len);
			return ans;
		}
	}
	int work()
	{
		using Palindrome_Auto_Machine::init;
		using Palindrome_Auto_Machine::build;
		using Palindrome_Auto_Machine::solve;
		read(s);
		init();
		build(s);
		write(solve());
		return (0^_^0);
	}
}
int main()
{
	return zyt::work();
}