【CodeForces 830C】奇怪的降复杂度

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description

有n棵竹子，初始时每棵竹子高度都是0，每棵竹子每天长高1m

对于每棵竹子，我们不希望其高度超过a[i]，如果超过了，我们就会把超过的部分减去

奇怪的是减去之后竹子就不会再长了

我们不希望每天去看一下竹子的情况，希望每隔d天去看一下竹子的情况

本着爱护环境的原则，我们不希望减去的竹子长度之和大于K

我们最多可以隔多少天去看一次竹子？

input

第一行两个整数n，K

第二行n隔整数表示a[i]

output

一个整数表示答案，即最大的d值

hint

20%:ai<=5*10^5

另有20%:k<=1

100%:1<=n<=100,0<=k<=10^11,1<=ai<=10^9

这道题我还愣是问大佬问了好久才搞懂。

第一眼：而不是二分嘛，水！结果考试快结束是才反应过来这答案并不满足二分的性质。如：4 4 4，d选4比选3优。

那么怎么办呢？

首先可以明确，d一定小于a[i]的最大值。那么这个d就太多了啊。如果直接暴力去for d，肯定是不行的，只能得20分。我们希望可以减少一些无用的d的枚举。

先可以得到公式：



转化一下：



我们可以发现，对于[ai/d]向上取整，有多个d对应相同的值。如：10/d，d=5,6,7,8,9都对应一个值2，可以证明d的数量是o（√n）

我们记录每一个ai对应的d，其中d可以代表一系列d。在算出了sigma（[ai/d]）后，可以根据上面的公式求出最大的d

暴力枚举得出的d，复杂度o(n*ai^0.5)

详情看代码吧。。。解释起来好麻烦。。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const int N=105;
const int M=100000+5;

ll a[N],n,k,c=0;
ll ans=0,tot=0,vec[N*M],cnt=0;

int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
        c+=a[i];
        for(int j=1;j*j<=a[i];j++)
            vec[++cnt]=j,vec[++cnt]=(a[i]-1)/j+1;
    }
    c+=k;
    sort(vec+1,vec+cnt+1);
    cnt=unique(vec+1,vec+cnt+1)-(vec+1);
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        ll d=vec[i];
        tot=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            tot+=(a[j]-1)/d+1;
        if(c/tot<d) continue;
        ans=max(ans,c/tot);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

总结：

1、在想二分时可以举例子来验证答案的单调性

2、把公式写出来时，可以结合一些数论的知识，看看能不能化简