机器学习——支持向量机（SVM）

机器学习——支持向量机（SVM）

支持向量机（Support Vector Machine）广泛地应用于分类问题，回归问题和异常检测问题。支持向量机一个很好的性质是其与凸优化问题相对应，局部最优解就是全局最优解。

本来打算大致写一下思想的。结果发现了已经有大神写的超级棒了。链接如下，看懂后来做笔记，http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7624837

线性可分模型

如上图所示，两组数据中间存在一条直线，使得两组数据分别在线的两侧。这就是最简单的线性可分模型。其中，这条直线在高维空间叫做分离超平面。
分离超平面的位置只由两组数据分离侧边界上的点决定，即，位于两组数据边界点所在平面构成的二面角的平分面上。（这个形容可能不太贴切）。
这个分离超平面用以下方程表示：
\[f(x)=w^Tx+b=0\]

已知点到超平面的距离为\(\frac{|f(x)|}{||w||}\)。
为了使分离效果更好，我们的目标是让数据边界点距离分离超平面。即
\[ \max \limits_w \min \limits_x \frac{f(x)}{||w||} \]

等价于
\[ \max \limits_w \frac{|f(x_0)|}{||w||} \]
\[ s.t. \frac{|f(x_i)|}{||w||} \ge \frac{|f(x_0)|}{||w||},i=1,2,\ldots,n\]

通过调整\(w:=|f(x_0)|w\),上式可以简化为
\[ \max \limits_w \frac{1}{||w||} \]
\[ s.t. |f(x_i)| \ge 1 ,i=1,2,\ldots,n\]
ps.相应边界线变为\(w^Tx+b=1和w^Tx+b=-1\)
进一步地，
\[ \min \limits_w \frac{1}{2}||w||^2 \]
\[ s.t. f(x_i)sign(f(x_i))\ge 1 ,i=1,2,\ldots,n\]

对偶问题

\[ \min \limits_w \frac{1}{2}||w||^2 \to quadratic function\]
\[ s.t. f(x_i)sign(f(x_i)) \ge 1 ,i=1,2,\ldots,n \to linear function\]
这个问题是凸优化里典型的QP（二次型）问题， 因为约束条件是仿射的，所以满足Slater条件，对偶问题的解和原问题的解一致。所以可以使用求对偶问题的方法求解原问题的最优解。
设拉格朗日函数为：
\[L(x,\lambda,w,b)=\frac{1}{2}||w||^2-\sum \limits_{i=1}^{n}\lambda_i ((sign(f(x_i))w^Tx_i+b)-1),\lambda_i \ge 0\]
设拉格朗日对偶函数为
\[g(x,\lambda)=\inf \limits_{w,b}L(x,\lambda,w,b)\]
为了求解上式，需要对\(L\)求偏导，消去\(w,b\)，

\[{{\partial L} \over {\partial w}} = 0 \Rightarrow w_i = \sum \limits_{i = 1}^n \lambda_i sign(f({x_i})){x_i} \]
\[{{\partial L} \over {\partial b}} = 0 \Rightarrow \sum \limits_{i = 1}^n \lambda_i sign(f({x_i}))=0 \]

那么，带入\(g(x,\lambda)\),求得

\[ g(x,\lambda)=\sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i - {1 \over 2} \sum \limits_{i,j = 1}^n \lambda_i \lambda_j sign(f(x_i)) sign(f(x_j)) x_i^T x_j\]

对偶问题变成：

\[\max \limits_\lambda \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i - {1 \over 2} \sum \limits_{i,j = 1}^n \lambda_i \lambda_j sign(f(x_i)) sign(f(x_j)) \left\langle {x_i,x_j} \right\rangle\]
\[s.t. \sum \limits_{i = 1}^n \lambda_i sign(f({x_i}))=0,\lambda_i \ge 0,i=1,2,\ldots,n\]

线性不可分模型

SVM只能处理线性可分模型，对于线性不可分模型，可以在高维空间建立线性可分模型。如下图所示，

那么，怎么扩展到高维空间呢？方法很简单，就是将原来的低维变量变成高维的多项式。例如\(X_1,X_2\)构成的二维变量变成\(X_1,X_2,X_1^2,X_2^2,X_1X_2\)构成的五维空间。
但是，随着变量的增加，高维空间的维数会爆炸性的增长，超出我们的处理范围。等价的，我们可以使用核函数来代替。

具体做法是将\(\left\langle {x_i,x_j} \right\rangle\)换成对应的核函数\(K(x_i,x_j)\)。核函数的意义在于在把低维空间的特征扩展到高维空间时，是先在低维空间进行操作，然后把结果展示在高维空间，这样大大降低了计算得复杂度。

常用的核函数

• 多项式核\(K(x_1,x_2)=(\left\langle {x_i,x_j} \right\rangle+R)^d\) 上面那个问题对应的是取\(R=1,d=2\)
• 高斯核 \(K(x_1,x_2)=exp(-||x_1-x_2||^2/{2\sigma^2})\) 这个核是将原问题映射到无穷维空间，但是主要成分在\([-3\sigma,3\sigma]\)之间。
  
• 线性核 \(K(x_1,x_2)=\left\langle {x_i,x_j} \right\rangle\)

异常点的处理——松弛

如上图所示，异常数据的出现导致不能分开两组数据。这时我们需要做的就是减弱少数的异常值带来的影响，在原问题后面加入松弛变量\(\xi _i\)。

将约束条件变为

\[sign(f(x_i))f(x_i) \ge 1-\xi _i\]

同时要限制\(\xi _i\)总和的大小。所以原问题变为：

\[\min {1 \over 2}||w||^2+C \sum \limits_{i=1}^{n}\xi_i\]

\[s.t. sign(f(x_i))(w^Tx_i+b) \ge 1-\xi _i,i=1,\ldots,n\]

\[\xi _i \ge 0,i=1,\ldots,n\]

经计算，对偶问题变为：

\[\max \limits_\lambda \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i - {1 \over 2} \sum \limits_{i,j = 1}^n \lambda_i \lambda_j sign(f(x_i)) sign(f(x_j)) \left\langle {x_i,x_j} \right\rangle\]

\[s.t. \sum \limits_{i = 1}^n \lambda_i sign(f({x_i}))=0, 0 \le \lambda_i \le C,i=1,2,\ldots,n\]

SMO(Sequential minimal optimization)算法

求解以上对偶问题的算法称为SMO算法。此不不错讨论，有兴趣的请查看JerryLead的笔记

LIBSVM算法包

LIBSVM是台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等开发设计的一个简单、易于使用和快速有效的SVM模式识别与回归的软件包，他不但提供了编译好的可在Windows系列系统的执行文件，还提供了源代码，方便改进、修改以及在其它操作系统上应用；该软件对SVM所涉及的参数调节相对比较少，提供了很多的默认参数，利用这些默认参数可以解决很多问题；并提供了交互检验(Cross Validation)的功能。该软件可以解决C-SVM、ν-SVM、ε-SVR和ν-SVR等问题，包括基于一对一算法的多类模式识别问题。

可以去http://www.csie.ntu.edu.tw/~cjlin/下载这个算法包。
由于前人已经对SVM做了大量的优化，包括算法上和计算机方面的优化，所以不建议自己编程。个人认为只要懂得原理，知道怎么修改参数即可。