luoguP4721 【模板】分治 FFT (分治NTT)

给定 $g[1....n-1]$，求 $f[0],f[1],...,f[n-1]$，其中

 

$f[i]=\sum_{j=1}^{i}f[i-j]g[j]$ 

 

变界为 $f[0]=1$ 答案模 998244353

 

分治 $FFT$：类似 $CDQ$ 分治，先处理左边，再处理左对右的贡献

 

假设当前的区间为 $[l,r]$，已经处理完 $[l,mid]$ 的所有 $f$ 值，考虑左面对右面的贡献

 

右面所有 $f$ 的下标为 $[mid+1,r]$

 

那么 $f[l,mid]*g[1,r-l]$ 就可以使左面的 $f[l,mid]$ 不重不漏的贡献给右面

 

因为要提前知道 $f[l,mid]$ 才能处理对右面的贡献，所以我们这样处理：

 

(1) $solve(l,mid)$

 

(2) $f[l,mid]*g[1,r-l]\Rightarrow f[mid+1,r]$

 

(3) $solve(mid+1,r)$ 

Code: 

#include <cstdio>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
typedef long long ll;
const int maxn=2100005;
const ll mod=998244353;
using namespace std;
inline ll qpow(ll base,ll k) {
    ll tmp=1;
    for(;k;k>>=1,base=base*base%mod)if(k&1) tmp=tmp*base%mod;
    return tmp;
}
inline ll inv(ll a) { return qpow(a, mod-2); }
inline void NTT(ll *a,int len,int flag) {
    for(int i=0,k=0;i<len;++i) {
        if(i>k) swap(a[i],a[k]);
        for(int j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1);
    }
    for(int mid=1;mid<len;mid<<=1) {
        ll wn=qpow(3, (mod-1)/(mid<<1)),x,y;
        if(flag==-1) wn=qpow(wn,mod-2);
        for(int i=0;i<len;i+=(mid<<1)) {
            ll w=1;
            for(int j=0;j<mid;++j) {
                x=a[i+j],y=w*a[i+j+mid]%mod;
                a[i+j]=(x+y)%mod, a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;
                w=w*wn%mod;
            }
        }
    }
    if(flag==-1) {
        int re=qpow(len,mod-2);
        for(int i=0;i<len;++i) a[i]=a[i]*re%mod;
    }
}
ll A[maxn],B[maxn];
struct poly {
    vector<ll>a;
    int len;
    poly(){}
    inline void clear() { len=0; a.clear(); }
    inline void rev() {reverse(a.begin(), a.end()); }
    inline void push(int x) { a.push_back(x),++len; }
    inline void resize(int x) { len=x; a.resize(x); }
    void getinv(poly &b,int n) {
        if(n==1) { b.clear(); b.push(inv(a[0]));  return; }
        getinv(b,n>>1);
        int t=n<<1,lim=min(len,n);
        for(int i=0;i<lim;++i) A[i]=a[i];
        for(int i=lim;i<t;++i) A[i]=0;
        for(int i=0;i<b.len;++i) B[i]=b.a[i];
        for(int i=b.len;i<t;++i) B[i]=0;
        NTT(A,t,1),NTT(B,t,1);
        for(int i=0;i<t;++i)  A[i]=(2-A[i]*B[i]%mod+mod)*B[i]%mod;
        NTT(A,t,-1);
        b.clear();
        for(int i=0;i<n;++i) b.push(A[i]);
    }
    poly Inv() {
        int n=1;
        while(n<=len)n<<=1;
        poly b;
        b.clear(), getinv(b,n);
        return b;
    }
    poly dao() {
        poly c;
        c.resize(len);
        for(int i=1;i<=len;++i) c.a[i-1]=a[i]*i%mod;
        return c;
    }
    poly jifen() {
        poly c;
        c.resize(len+1);
        for(int i=1;i<=len;++i) c.a[i]=a[i-1]*qpow(i,mod-2)%mod;
        c.a[0]=0;
        return c;
    }
    poly Ln() {
        poly c=dao()*Inv();
        return c.jifen();
    }
    poly operator * (const poly &b) const {
        int n=1;
        while(n<=len+b.len) n<<=1;
        for(int i=0;i<len;++i) A[i]=a[i];
        for(int i=len;i<n;++i) A[i]=0;
        for(int i=0;i<b.len;++i) B[i]=b.a[i];
        for(int i=b.len;i<n;++i) B[i]=0;
        NTT(A,n,1), NTT(B,n,1);
        for(int i=0;i<n;++i) A[i]=A[i]*B[i]%mod;
        NTT(A,n,-1);
        poly c;
        c.clear();
        for(int i=0;i<len+b.len-1;++i) c.push(A[i]);
        return c;
    }
    poly operator + (const poly &b) const {
        poly c;
        c.clear();
        for(int i=0;i<len;++i) c.push(a[i]);
        for(int i=0;i<b.len;++i) {
            if(i<len) c.a[i]=(c.a[i]+b.a[i])%mod;
            else c.push(b.a[i]);
        }
        return c;
    }
    poly operator - (const poly &b) const {
        poly c;
        c.clear();
        for(int i=0;i<len;++i) c.push(a[i]);
        for(int i=0;i<b.len;++i) {
            if(i<len) c.a[i]=(c.a[i]-b.a[i]+mod)%mod;
            else c.push((mod-b.a[i])%mod);
        }
        return c;
    }
    friend poly operator / (poly f,poly g) {
        poly Q;
        int l=f.len-g.len+1;
        f.rev(), g.rev(), g.resize(l), f.resize(l);
        Q=f*g.Inv(), Q.resize(l), Q.rev();
        return Q;
    }
    friend poly operator % (poly f,poly g) {
        poly u=f-(f/g)*g;
        u.resize(g.len-1);
        return u;
    }
}po[4];
ll f[maxn],g[maxn];
inline void inv() {
    int n,x;
    scanf("%d",&n), po[0].clear();
    for(int i=0;i<n;++i) scanf("%d",&x), po[0].push(x);
    po[1]=po[0].Inv();
    for(int i=0;i<po[1].len;++i) printf("%lld ",po[1].a[i]);
}
inline void mult() {
    int n,m,x;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;++i) scanf("%d",&x), po[0].push(x);
    for(int i=0;i<=m;++i) scanf("%d",&x), po[1].push(x);
    po[1]=po[0]*po[1];
    for(int i=0;i<po[1].len;++i) printf("%lld ",po[1].a[i]);
}
inline void divide() {
    int n,m,x;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;++i) scanf("%d",&x), po[0].push(x);
    for(int i=0;i<=m;++i) scanf("%d",&x), po[1].push(x);
    po[2]=po[0]/po[1];
    for(int i=0;i<po[2].len;++i) printf("%lld ",po[2].a[i]);
    printf("\n");
    po[2]=po[0]%po[1];
    for(int i=0;i<po[2].len;++i) printf("%lld ",po[2].a[i]);
}
inline void Ln() {
    int n,x;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;++i) scanf("%d",&x), po[0].push(x);
    po[0]=po[0].Ln();
    for(int i=0;i<n;++i) printf("%lld ",po[0].a[i]);
}
inline void CDQ_NTT(int l,int r) {
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    CDQ_NTT(l,mid);
    po[0].clear(),po[1].clear();
    for(int i=l;i<=mid;++i) po[0].push(f[i]);
    for(int i=0;i<=r-l;++i) po[1].push(g[i]);
    po[0]=po[0]*po[1];
    for(int i=mid+1;i<=r;++i)  f[i]+=po[0].a[i-l],f[i]%=mod;
    CDQ_NTT(mid+1,r);
}
inline void CDQ() {
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;++i) scanf("%lld",&g[i]);
    f[0]=1ll;
    CDQ_NTT(0,n-1);
    for(int i=0;i<n;++i) printf("%lld ",f[i]);
}
int main() {
    // setIO("input");
    CDQ();
    return 0;
}

　　

再来以个多项式求逆版本的~

code:

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
const int G=3,mod=998244353,N=800003;
int A[N],B[N];
inline int qpow(int x,int y)
{
    int tmp=1;
    for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)    if(y&1)    tmp=1ll*tmp*x%mod;
    return tmp;
}
inline int INV(int x) { return qpow(x,mod-2); }
void NTT(int *a,int len,int flag)
{
    int i,j,k,mid;
    for(i=k=0;i<len;++i)
    {
        if(i>k)     swap(a[i],a[k]);
        for(j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1);
    }
    for(mid=1;mid<len;mid<<=1)
    {
        int wn=qpow(G,(mod-1)/(mid<<1));
        if(flag==-1)   wn=INV(wn);
        for(i=0;i<len;i+=mid<<1)
        {
            int w=1;
            for(j=0;j<mid;++j)
            {
                int x=a[i+j],y=1ll*w*a[i+j+mid]%mod;
                a[i+j]=1ll*(x+y)%mod, a[i+j+mid]=1ll*(x-y+mod)%mod;
                w=1ll*w*wn%mod;
            }
        }
    }
    if(flag==-1)
    {
        int rev=INV(len);
        for(i=0;i<len;++i)     a[i]=1ll*a[i]*rev%mod;
    }
}
void getinv(int *a,int *b,int len)
{
    if(len==1) { b[0]=INV(a[0]); return; }
    getinv(a,b,len>>1);
    for(int i=0;i<len;++i)    A[i]=a[i], B[i]=b[i];
    NTT(A,len<<1,1),NTT(B,len<<1,1);
    for(int i=0;i<(len<<1);++i)    A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod*B[i]%mod;
    NTT(A,len<<1,-1);
    for(int i=0;i<len;++i)    b[i]=((b[i]<<1)%mod-A[i]+mod)%mod;
}
int f[N],g[N],h[N],tmp[N];
int main()
{
    setIO("input");
    int i,j,n;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n-1;++i)    scanf("%d",&g[i]);
    int lim=1;
    while(lim<=2*n)  lim<<=1;
    h[0]=1;
    for(i=1;i<=n-1;++i)    h[i]=mod-g[i];
    getinv(h,tmp,lim);
    for(i=n;i<lim;++i)     tmp[i]=0;
    NTT(g,lim,1);
    NTT(tmp,lim,1);
    for(i=0;i<lim;++i)     g[i]=1ll*g[i]*tmp[i]%mod;
    NTT(g,lim,-1);
    g[0]=1;
    for(i=0;i<n;++i)       printf("%d ",g[i]);
    return 0;
}