主成分分析(PCA)模型概述

数据降维

降维是对数据高维度特征的一种预处理方法。降维是将高维度的数据保留下最重要的一些特征，去除噪声和不重要的特征，从而实现提升数据处理速度的目的。在实际的生产和应用中，降维在一定信息损失范围内，可以为我们节省大量的时间和成本。降维也称为了应用非常广泛的数据预处理方法。

降维的目的：

• 使得数据更容易使用
• 确保变量相互独立
• 降低很多算法的计算开销
• 去除噪音
• 使得结果易懂，已解释

常见降维模型

• 主成分分析(Principal Components Analysis)
• 因子分析(Factor Analysis)
• 独立成分分析(Independ Component Analysis, ICA)

主成分分析

思想

• 去除平均值
• 计算协方差矩阵
• 计算协方差矩阵的特征值和特征向量
• 将特征值排序
• 保留前N个最大的特征值对应的特征向量
• 将数据转换到上面得到的N个特征向量构建的新空间中（实现了特征压缩）

原理

1. 找出第一个主成分的方向，也就是数据方差最大的方向。
2. 找出第二个主成分的方向，也就是数据方差次大的方向，并且该方向与第一个主成分方向正交(orthogonal 如果是二维空间就叫垂直)。
3. 通过这种方式计算出所有的主成分方向。
4. 通过数据集的协方差矩阵及其特征值分析，我们就可以得到这些主成分的值。
5. 一旦得到了协方差矩阵的特征值和特征向量，我们就可以保留最大的 N 个特征。这些特征向量也给出了 N 个最重要特征的真实结构，我们就可以通过将数据乘上这 N 个特征向量 从而将它转换到新的空间上。

算法

• 输入：$m$ 个 $n$ 维样本数据 $D = (x^{(1)}, x^{(2)}, ldots, x^{(m)})$
• 输出：$m$ 个 $k$ 维样本数据

1. 对样本集进行标准化；
2. 计算样本的协方差矩阵 $XX^{T}$；
3. 对协方差矩阵进行特征分解，得到 $n$ 个特征向量和其对应的特征值；
4. 取出最大的 $k$ 个特征值对应的特征向量 $(omega_1, omega_2, ldots, omega_k)$，将所有的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵 $W$；
5. 对样本集中每一个样本 $x^{(i)}$，转化为新的样本 $z^{(i)}=W^{T}x^{(i)}$
6. 得到输出的样本数据 $D_{pca} = (z^{(1)}, z^{(2)}, ldots, z^{(m)})$

优缺点

• 优点：降低数据复杂性，识别最终要的多个特征
• 缺点：
  • 可能损失有用信息
  • 只适用于数值型数据

算法实现

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# -*- coding: utf-8 -*- import numpy as np import pandas as pd def (fileName, delim = "t"): data = pd.read_csv(fileName, sep = delim, header = None) return np.mat(data) def PCA(dataMat, topNfeat = 9999999): meanVals = np.mean(dataMat, axis = 0) meanRemoved = dataMat - meanVals # 标准化 covMat = np.cov(meanRemoved, rowvar = 0) # 计算样本协方差矩阵 eigVals, eigVects = np.linalg.eig(np.mat(covMat)) # 对样本协方差矩阵进行特征分解，得到特征向量和对应的特征值 eigValInd = np.argsort(eigVals) # 对特征值进行排序 eigValInd = eigValInd[:-(topNfeat + 1):-1] # 取最大的topNfeat个特征向量对应的index序号 redEigVects = eigVects[:, eigValInd] # 根据取到的特征值对特征向量进行排序 lowDDataMat = meanRemoved * redEigVects # 降维之后的数据集 reconMat = (lowDDataMat * redEigVects.T) + meanVals # 新的数据空间 return lowDDataMat, reconMat def show_picture(dataMat, reconMat): fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(111) ax.scatter(dataMat[:, 0].flatten().A[0], dataMat[:, 1].flatten().A[0], marker='^', s=90,c='green') ax.scatter(reconMat[:, 0].flatten().A[0], reconMat[:, 1].flatten().A[0], marker='o', s=50, c='red') plt.show() def main(): data = loadData(fileName = "PCA.txt", delim = "t") lowDDataMat, reconMat = PCA(data, 1) show_picture(data, reconMat) if __name__ == "__main__": main()