[算法总结]康托展开Cantor Expansion

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目录

• 一、关于康托展开
  • 1.什么是康托展开
  • 2.康托展开实现原理
• 二、具体实施
  • 1.模板

一、关于康托展开

1.什么是康托展开

求出给定一个由1_{n个整数组成的任意排列在1}n的全排列中的位置。

解决这样问题的算法叫康托展开。

例如：

\(n=4\)，序列a={\(1，3，4，2\)}，那么a在1~4中的全排列位置为第4个。

2.康托展开实现原理

要知道序列a排在第几位，我们就需要知道序列a之前有多少位。

我们按照上面的栗子计算：

1.比1小的数有0个，有\(0\times(4-1)!=0\)种排列。

2.比3小的数有2个，但是1已经被占用了，因此可用只有1个数，共有\(1\times(3-1)!=2\)种排列。

3.比4小的数有3个，但是1，3被占用，可用的数字只有1个，共有\(1\times(2-1)!=1\)种排列。

4.比2小的数有一个，但是全被占用了，因此可用排列为\(0\times(1-1)!=0\)。

到现在为止，我们知道在序列a前面的排列有3个，因此序列a排在第4位。

公式：

\[pos=k_1(n-1)!+k_2(n-2)!+...+k_n(n-n)!
\]

统计时使用树状数组优化，总复杂度为\(O(NlogN)\)。

二、具体实施

1.模板

P5367 【模板】康托展开

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 1000010
#define MOD 998244353
using namespace std;
int n,t[N];
ll fac[N],ans;
inline void calc_factorial(int n){
	fac[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		fac[i]=i*fac[i-1]%MOD;
}
inline int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}
inline void modify(int x,int k){
	while(x<=n){
		t[x]+=k;
		x+=lowbit(x);
	}
}
inline ll query(int x){
	ll res=0;
	while(x>0){
		res+=t[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	calc_factorial(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) modify(i,1);
	for(int i=1,num;i<=n;i++){
		scanf("%d",&num);
		ans=(ans+((query(num)-1)*fac[n-i])%MOD)%MOD;
		//core code: restnum*(n-i)!
		modify(num,-1);
	}
	printf("%lld",ans+1);
	return 0;
}

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