组合数学+错排问题【p4071】[SDOI2016]排列计数

Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7109+7 取模。

Input

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

Output

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

组合数+错排问题。

预处理\(fac[i]\)代表\(i\)的阶乘.\(inv[i]\)代表\(i\)的阶乘的逆元。

\(f[i]\)代表有\(i\)个数的错排方案数。

我们的答案就是\(C_n^{m} \times f[n-m]\)

不难理解的解释.

注意判断\(n==m\)输出\(1\)。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define int long long
#define mod 1000000007
#define R register

using namespace std;

const int gz=1000008;

int fac[gz]={1,1},inv[gz],T,f[gz];

inline void in(int &x)
{
	int f=1;x=0;char s=getchar();
	while(!isdigit(s)){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while(isdigit(s)){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
	x*=f;
}

inline int ksm(R int x,R int y)
{
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
		if(y&1)res=res*x%mod;
	return res;
}

inline int C(R int n,R int m)
{
	return (fac[n]%mod*inv[n-m])%mod*(inv[m])%mod;
}

signed main()
{
	f[2]=1;
	for(R int i=2;i<=gz;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[gz]=ksm(fac[gz],mod-2);
	for(R int i=gz-1;i>=0;i--)inv[i]=((i+1)*inv[i+1])%mod;
	for(R int i=3;i<=gz;i++)f[i]=(i-1)*(f[i-2]+f[i-1])%mod;
	in(T);
	for(R int n,m;T;T--)
	{
		in(n),in(m);
		if(n==m)puts("1");
		else printf("%lld\n",((C(n,m)%mod)*(f[n-m]%mod))%mod);
	}
}