【KMP】【字符串】KMP字符串匹配算法学习笔记

一、简介

KMP是由Knuth、Morris和Prat发明的字符串匹配算法，它的时间复杂度是均摊$O(n+m)$。其实用Hash也可以做到线性，只不过Hash存在极其微小的难以避免的冲突。于是就有了KMP。

KMP算法用作模式串匹配，可以找到一个长为$m$的模式串在一个长为$n$的主串中出现的次数和位置。

二、朴素算法($O(nm)$)

实际上是枚举模式串在主串中出现的位置，然后一一比对，出现错误就停止，移动到下一位。连续匹配成功$m$次就说明模式串在主串中出现了。

其实$O(nm)$是一个比较宽的上界，随机数据远没有这么慢。不过给出主串S="aaaaaaaaaaa"，模式串T="aaab"，就得每次匹配到最后才知道挂掉了。那么我们既然已经知道这样会挂掉，为什么还要重复匹配呢？这就是KMP要解决的问题。

三、KMP算法

0.注意事项

KMP算法中，字符数组下标是从1开始而不是0，这样会比较方便，在匹配的时候直接调用nxt数组就不用-1了，而且很直观。

1.nxt数组(next)

nxt数组是KMP算法的核心。

nxt数组nxt[i]中存的是后缀字符与前缀字符相同的个数，且后缀字符不是前缀字符，也就是不能完全匹配自己。

对于ababcab而言，它的nxt数组是

nxt[1]	nxt[2]	nxt[3]	nxt[4]	nxt[5]	nxt[6]	nxt[7]
a	ab	aba	abab	ababc	ababca	ababcab
0	0	1	2	0	1	2
没有后缀与前缀相同	没有后缀与前缀相同	前缀"a"=后缀"a"	前缀"ab"=后缀"ab" 注意不能完全匹配自己	没有后缀与前缀相同(失配直接=0)	前缀"a"=后缀"a"	前缀"ab"=后缀"ab"

看上去很简单。但是它怎么求呢？当然，如果递推掌握的比较好，可以知道，如果T[i+1]==T[nxt[i]+1]，那nxt[i+1]=nxt[i]+1。而失配了怎么办，是我们接下来要解决的问题。

2.nxt数组的作用

在上面我们提到了，KMP算法是减少了朴素算法的重复匹配，均摊下来每个字符只匹配了一次。在上面的表格中，我们看到了nxt数组处理出了模式串后缀与前缀匹配数。当我们用模式串匹配主串，在后缀失配时，在模式串里与后缀相同的就是我们预处理出的前缀了，因此我们只需要把模式串前缀挪到现在的位置来即可。这时我们会发现，中间可能跳过很多没有用，也就是安排匹配不上的状态，这就是KMP的优化。

3.nxt失配的求法

可以看出，求nxt数组，就是在用模式串匹配自己，且不匹配第一位。当我们发现T[i+1]与T[nxt[i]+1]失配时，比nxt[i]要次一点但是仍然与T[i]所在后缀相同的前缀就是nxt[nxt[i]]了。就是我们相当于退而求其次，“贪心地”按长度从大到小找一个最能匹配上后缀的前缀。

匹配不到的情况

比如说

ababababc

        ↑

如果匹配到第8+1位时失配了，这时就去找第nxt[8]+1位，（nxt[8]=6）也就是第6+1位。此时发现还是不行，继续找第nxt[6]+1位……直到找到nxt[1]=0，退出循环，再看看第一位是否匹配，如果匹配，nxt[9]=1，否则nxt[9]=0。

重新匹配到的情况

abcaba

     ↑

这里匹配到第5+1位发现失配，去找nxt[5]+1=2+1，仍然不行，但是nxt[2]=0了，此时退出循环，发现T[1]=T[6]，所以nxt[6]=1。

其实情况还有很多很多种，这里只是列举了几种，想让nxt数组的求法变得更加形象一些。

四、KMP代码

#include<cstdio>

#include<cstring>

char s[1000100];

char t[1000100];

int nxt[1000100];

int f[1000100];

int main()

{

    scanf("%s",s+1);

    scanf("%s",t+1);

    int n=strlen(s+1);

    int m=strlen(t+1);

    for(int i=2,j=0;i<=m;++i)

    {

        while(j&&t[i]!=t[j+1])

            j=nxt[j];

        if(t[j+1]==t[i])

            ++j;

        nxt[i]=j;

    }

    for(int i=1,j=0;i<=n;++i)

    {

        while(j&&(j==m||s[i]!=t[j+1]))

            j=nxt[j];

        if(t[j+1]==s[i])

            ++j;

        f[i]=j;

        if(f[i]==m)

            printf("%d\n",i-m+1);

    }

    for(int i=1;i<=m;++i)

        printf("%d ",nxt[i]);

    return 0;

}