字符串Hash/树Hash学习笔记

哈希

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一、概述

百度百科：

散列表（Hash table/哈希表），是根据关键码值(Key value)而直接进行访问的数据结构。

哈希表常用于比较两个字符串是否相同（可以把状态看作字符串，从而比较状态是否相同）

二、实现方式

一个例子

通常将其看成一个进制数，比如\(ABAF\)看成\(1216\)，那么哈希值就是\(Hash=1*base^3+2*base^2+1*base+6\)，\(base\)可以自由决定，如果说状态量有限，可以使用较小的\(base\)使得所有状态不冲突，若状态量较大且分散，可以采用取模或者自然溢出的方式尽可能避免冲突

优缺点

优点是可以\(O(1)\)比较（数组是\(O(1)\)如果用map就要加一个\(log\)）

缺点是会有冲突，为避免冲突可以选择双哈希或三哈希等（选取不同的模数）

哈希方式

1.进制哈希（用于判断状态/数组是否相同）

\[Hash[i]=Hash[i-1]*base+val[i]$$优点：方便好写
　　　状态量小时哈希过程可逆（见[一双木棋](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4363)）
缺点：毒瘤出题人卡自然溢出，采用双哈希
　　　状态量大时哈希过程不可逆（不能通过Hash值还原数组）
使用范围：基本上这么写

>2.树哈希（用于判断树的同构）

$$Hash[x]=\sum_{异或和}(Hash[son_{1...k}]+base1)*(siz[x]+base2)+deep[x]*base3$$其实没有一定要求这么写，只是树的同构要求深度相同，孩子也同构但是与孩子的顺序无关，所以信息就是儿子的$Hash$和深度和大小，可以灵活处理

千古神犇陈菊开安利的一种写法：$$Hash[x]=(\sum{Hash[son]})^{size[x]}\]

注意：base的选取原则是使得Hash值尽可能分散，尽可能少的冲突

优点：这里不用累乘而用异或和，使得Hash过程可逆（也就是在树DP中方便换根/删点）

缺点：没有固定套路，灵活多变（有次考试不管怎么调\(base\)总是过不了，把异或和改成累乘马上就过了，原因是数据范围小，Hash值密集容易造成冲突）

三、题单

• [ ] [AIZU2784]Similarity of Subtrees https://vjudge.net/problem/Aizu-2784
• [x] [BZOJ3197/Luogu3296][SDOI2013]Assassin/刺客信条 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3296
• [x] [BZOJ4754/Luogu4323][JSOI2016]独特的树叶 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4323
• [x] [BZOJ5248][九省联考2018]一双木棋 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4363
• [x] [BZOJ3555]企鹅QQ https://www.luogu.org/problemnew/show/P4503
• [ ] [BZOJ3507/Luogu3167][CQOI2014]通配符匹配 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3167
• [ ] [BZOJ4892/Luogu3763][TJOI2017]DNA https://www.luogu.org/problemnew/show/P3763
• [ ] [SDOI2007]游戏 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2462
• [ ] [HDU5469]Antonidas https://vjudge.net/problem/HDU-5469

四、代码

// [九省联考2018]一双木棋chess
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
int N,M,A[11][11],B[11][11],b[11];
map<ll,int>Map;
ll HASH()
{
    ll Hash=0;
    for(int i=1;i<=N;i++) Hash=Hash*11+b[i];
    return Hash;
}
void ReHash(ll Hash)
{
    for(int i=N;i>=1;i--) b[i]=Hash%11,Hash/=11;
}
int DFS(int op,ll Hash)
{
    if(Map[Hash]) return Map[Hash]==-1?0:Map[Hash];
    ReHash(Hash);int ans=1e9*(-op);
    for(int i=1;i<=N;i++)
        if(b[i]<b[i-1])
        {
            b[i]++;int tmp=DFS(-op,HASH());
            if(op==1) ans=max(ans,tmp+A[i][b[i]]);
            else ans=min(ans,tmp-B[i][b[i]]);
            b[i]--;
        }
    if(ans==1e9*(-op)) ans=0;
    Map[Hash]=(ans==0?-1:ans);
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&M);
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=1;j<=M;j++)
            scanf("%d",&A[i][j]);
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=1;j<=M;j++)
            scanf("%d",&B[i][j]);
    b[0]=M;
    printf("%d\n",DFS(1,0));
    return 0;
}