Solution Set -「LOCAL」冲刺省选 Round XXVII

\(\mathscr{Summary}\)

  还行，B 题挺不错，C 题就省选来说有点水（？

\(\mathscr{Solution}\)

\(\mathscr{A-}\) 分裂

  初始时，你有一个 \(1\) 级球，每次可以把一个 \(k\) 级球变成 \(k+1\) 个 \(k+1\) 级球，请构造恰好得到 \(n\) 个球的方案，仅需输出最终球的等级和对应数量。

  多测，\(T\le10^4\)，\(n\le10^{18}\)，你需要保证所有方案中球的等级种类之和不超过 \(10^7\)。

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  一开始去优化“球的数量之和”，大大地伪了一发。

  注意部分分有个 \(n\) 是阶乘，而阶乘的时候等级种类自然是最少的，所以我们先找到最大的 \(x!\le n\)，先把 \(1\) 级球不停操作得到 \(x!\) 个 \(x\) 级球，此时再取一定数量的 \(x\) 级球操作到 \(x+1\) 级球，设 \(n'\) 为还需要的球的数量，那么 \(n'\le x\)。通过升级一个 \(k\) 级球，还原 \(k\) 个 \(k\) 级球，可以使 \(n'\) 减少 \(1\)，模拟几次就行。

  阶乘的是指数级，那么复杂度为 \(\mathcal O(T\log n)\)，每次使用不超过 \(4\) 种等级。

\(\mathscr{B}-\) 未来

  给定长度为 \(n\)，字符集为 \(\{\text r,\text g,\text b\}\) 的字符串 \(S\)，对其进行 \(m\) 次变换，每次变换使 \(S\) 变为 \(S'\)，若 \(S_i=S_{(i+1)\bmod n}\)，\(S'_i=S_i\)，否则 \(S'_i=\{\text r,\text g,\text b\}\setminus\{S_i,S_{(i+1)\bmod n}\}\)。求变换后的最终序列。

  \(n\le5\times10^5\)。

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  套路性地去想一个具有交换律、结合律的整数运算来等价表示两个字符的运算结果。进而，令三种字符为 \(0,1,2\)，可以构造出这样的运算：\(a\oplus b=(-(a+b))\bmod 3\)，并且这个负号仅由 \(m\) 决定，问题被转化成：给定序列 \(\{a_n\}\)，每次操作令 \(a'_i=a_i+a_{(i+1)\bmod n}\)，求 \(m\) 次操作后每个 \(a_i\bmod 3\)。

  若 \(a_i\) 的值在下标移动 \(d\) 次后更新到了 \(a_j\)，那么贡献系数显然是 \(\binom{m}d\)，注意仅对 \(3\) 取模，所以对它 Lucas 一发，设 \(m=\sum 3^{m_k}\) 为 \(m\) 的三进制分解（如果某个幂次数是 \(2\)，加两次），就组合意义上，我们可以依次对 \(\{a_n\}\) 施加 \(3^{m_1}\) 次操作，再施加 \(3^{m_2}\) 次操作，……最后总共施加 \(m\) 次操作。每次操作中，贡献系数都是 \(\binom{3^{m_i}}{d}\)，因而 \(d=0\) 或 \(d=3^{m_i}\) 时，才能使系数非 \(0\)，这个可以 \(\mathcal O(n)\) 模拟一遍算出来，所以总复杂度 \(\mathcal O(n\log m)\)。

\(\mathscr{C}-\) 回忆

  给定一个 \(n\times m\) 的网格，\((i,j)\) 以 \(a_{i,j}\) 的概率可用，求可用单元格构成的四联通块中，最大块大小的期望。

  \(nm\le40\)。

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  你能想到最暴力的插头 DP：按列转移，状态数组直接 map<pair<vector<int>, vector<int> >, int>，过了。打了下表，有效状态数不超过 \(10^5\)。