洛谷 P5162 WD与积木 解题报告

P5162 WD与积木

题目背景

WD整日沉浸在积木中，无法自拔……

题目描述

WD想买\(n\)块积木，商场中每块积木的高度都是\(1\)，俯视图为正方形（边长不一定相同）。由于一些特殊原因，商家会给每个积木随机一个大小并标号，发给WD。

接下来WD会把相同大小的积木放在一层，并把所有层从大到小堆起来。WD希望知道所有不同的堆法中层数的期望。两种堆法不同当且仅当某个积木在两种堆法中处于不同的层中，由于WD只关心积木的相对大小，因此所有堆法等概率出现，而不是随机的大小等概率（可以看样例理解）。输出结果\(\bmod 998244353\)即可。

（如果还是不能够理解题意，请看样例）

输入输出格式

输入格式：

第一行一个数\(T\)，表示询问个数。

接下来\(T\)行每行一个数\(n\)，表示WD希望使用\(n\)块积木。

输出格式：

共\(T\)行，每行一个数表示答案\(\bmod 998244353\)。

说明

subtask1(21pts): \(1≤T≤1,000, 1≤n≤1,000\)

subtask2(37pts):\(~1\le T\le 10,~1\le n\le 100,000\)

subtask3(42pts):\(~1\le T\le 100,000,~1\le n\le 100,000\)

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当时拿斯特林数推了一会儿没推出来就走了，原来只是部分分啊。

姿势水平屑了，今天稍微给自己普及了一些指数型生成函数。

朴素DP

\(g_n\)代表\(n\)个东西的堆法，就是有标号球和盒子不准空的方案数，就是有序贝尔数，递推的时候枚举第一堆大小。

\[g_n=\sum_{i=1}^n \binom{n}{i}g_{n-i}
\]

\(f_i\)代表\(n\)个东西所有堆法的总层数。

\[f_n=g_n+\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}f_{n-i}
\]

从意义上看，\(f_0=0,g_0=1\)，不想从意义上看就稍微推一下。

实质还是枚举第一堆的大小，\(g_n\)算的是枚举的这一堆的贡献和，剩下的是其他堆的贡献。

然后构造指数生成函数

\[F(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{f_i}{i!}x^i,G(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{g_i}{i!}x^i,H(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{i!}x^i
\]

然后稍微注意一下发现上面的下标是从\(1\)开始的，于是直接卷会多一个

\[2G=GH+1,2F=FH+G-1
\]

关于＋1-1，今天想到一种理解方式。

\(1\)实际上是一个多项式单位元，像数论卷积定义的\(\epsilon(n)=[n=1]\)那样。

然后＋1还是为了\(g_0=1\)考虑的，因为本身这个东西已经封闭了，你得给它打开一个开口啊（天呐我在扯什么

后面-1减的实际上还是\(g_0=1\)

化简一下式子

\[F=G(G-1)
\]

求逆求出\(G\)就行了

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int mod=998244353,Gi=332748118;
const int M=(1<<18)+10;
const int N=1e5;
#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
#define add(a,b) ((a+b)%mod)
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
int fac[M],inv[M],ans[M],H[M],A[M],B[M],D[N],turn[M],len=1;
void NTT(int *a,int typ,int len)
{
    int L=-1;for(int i=1;i<len;i<<=1) ++L;
    for(int i=1;i<len;i++)
    {
        turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L;
        if(i<turn[i]) std::swap(a[i],a[turn[i]]);
    }
    for(int le=1;le<len;le<<=1)
    {
        int wn=qp(typ?3:Gi,(mod-1)/(le<<1));
        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
        {
            int w=1;
            for(int i=p;i<p+le;i++,w=mul(w,wn))
            {
                int tx=a[i],ty=mul(w,a[i+le]);
                a[i]=add(tx,ty);
                a[i+le]=add(tx,mod-ty);
            }
        }
    }
    if(!typ)
    {
        int inv=qp(len,mod-2);
        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],inv);
    }
}
void polyinv(int *a,int *b,int len)
{
    if(len==1){b[0]=qp(a[0],mod-2);return;}
    polyinv(a,b,len>>1);
    for(int i=0;i<len;i++) A[i]=b[i],B[i]=a[i],A[i+len]=B[i+len]=0;
    NTT(A,1,len<<1),NTT(B,1,len<<1);
    for(int i=0;i<len<<1;i++) A[i]=mul(A[i],add(2,mod-mul(A[i],B[i])));
    NTT(A,0,len<<1);
    for(int i=0;i<len;i++) b[i]=A[i];
}
int main()
{
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=N;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    inv[N]=qp(fac[N],mod-2);
    for(int i=N-1;~i;i--) inv[i]=mul(inv[i+1],i+1);
    for(int i=0;i<=N;i++) H[i]=mod-inv[i];H[0]=1;
    while(len<=N) len<<=1;
    polyinv(H,ans,len);
    for(int i=0;i<len;i++) D[i]=mul(ans[i],fac[i]),H[i]=ans[i];
    --ans[0];
    NTT(ans,1,len<<1),NTT(H,1,len<<1);
    for(int i=0;i<len<<1;i++) ans[i]=mul(ans[i],H[i]);
    NTT(ans,0,len<<1);
    for(int i=0;i<=N;i++) ans[i]=mul(qp(D[i],mod-2),mul(ans[i],fac[i]));
    int T,n;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",ans[n]);
    }
    return 0;
}

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2018.12.31