【题解】Luogu P5319 [BJOI2019]奥术神杖

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题目让我们最大化\(val=\sqrt[k]{\prod_{i=1}^k w_i}\)，其中\(k\)是咒语的个数，\(w_i\)是第\(i\)个咒语的神力

看着根号和累乘不爽，我们两边同取\(\ln\)

$$\ln val=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k \ln w_i$$

易知当\(\ln val\)最大化时，\(val\)也最大化。所以我们将问题转化成了最大化\(\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k \ln w_i\)，我们发现这是算数平均数。我们珂以通过二分答案找到它的最大值，问题就是二分答案如何check是否合法：

当\(\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k \ln w_i>mid\)时才合法

即当\(\sum_{i=1}^k(w_i-mid)>0\)时才合法

我们先对所有咒语建AC自动机，在上面跑dp求出\(\sum_{i=1}^k(w_i-mid)\)的最大值，判断是否可行

具体dp：就像其他很多AC自动机上的dp一样，设\(f[i][j]\)表示神杖前\(i\)个字符，匹配到了AC自动机上\(j\)号节点，依照套路转移，就是不要忘了题目原有的限制

此算法精度误差较大，但本题还是珂以通过

#include <bits/stdc++.h>
#define db double
#define N 1505
#define eps 1e-6
using namespace std;
inline int read()
{
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
int n,m;
char T[N],s[N],ans[N];
db V[N],val[N],f[N][N];
pair<int,int> pre[N][N];
struct node{
    int son[10],fail,cnt;
    db val;
}tr[N];
int tot=0;
inline void Insert(register char *s,register db v)
{
    int len=strlen(s+1),now=0;
    for(register int i=1;i<=len;++i)
    {
        if(!tr[now].son[s[i]-'0'])
            tr[now].son[s[i]-'0']=++tot;
        now=tr[now].son[s[i]-'0'];
    }
    ++tr[now].cnt,tr[now].val+=v;
}
inline void getfail()
{
    queue<int> q;
    for(register int i=0;i<10;++i)
        if(tr[0].son[i])
            q.push(tr[0].son[i]);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        tr[u].cnt+=tr[tr[u].fail].cnt;
        tr[u].val+=tr[tr[u].fail].val;
        for(register int i=0;i<10;++i)
        {
            if(tr[u].son[i])
            {
                tr[tr[u].son[i]].fail=tr[tr[u].fail].son[i];
                q.push(tr[u].son[i]);
            }
            else
                tr[u].son[i]=tr[tr[u].fail].son[i];
        }
    }
}
inline void updateans(register int i,register int j)
{
    if(!i)
        return;
    updateans(i-1,pre[i][j].first);
    ans[i]=pre[i][j].second+'0';
}
inline bool check(register db mid)
{
    memset(f,-0x3f,sizeof(f));
    db inf=-f[0][0];
    f[0][0]=0;
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        for(register int j=0;j<=tot;++j)
        {
            if(fabs(f[i-1][j]+inf)<1)
                continue;
            if(T[i]=='.')
            {
                for(register int k=0;k<10;++k)
                {
                    int v=tr[j].son[k];
                    if(f[i-1][j]+tr[v].val-tr[v].cnt*mid>f[i][v])
                    {
                        f[i][v]=f[i-1][j]+tr[v].val-tr[v].cnt*mid;
                        pre[i][v]=make_pair(j,k);
                    }
                }
            }
            else
            {
                int k=T[i]-'0',v=tr[j].son[k];
                if(f[i-1][j]+tr[v].val-tr[v].cnt*mid>f[i][v])
                {
                    f[i][v]=f[i-1][j]+tr[v].val-tr[v].cnt*mid;
                    pre[i][v]=make_pair(j,k);
                }
            }
        }
    int pos=0;
    for(register int i=1;i<=tot;++i)
        if(f[n][i]>f[n][pos])
            pos=i;
    if(f[n][pos]>eps)
    {
        updateans(n,pos);
        return 1;
    }
    else
        return 0;
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    scanf("%s",T+1);
    db L=0,R=0;
    for(register int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%s",s+1);
        V[i]=log(read());
        R=max(R,V[i]);
        Insert(s,V[i]);
    }
    getfail();
    while(R-L>eps)
    {
        db mid=(L+R)/2.0;
        if(check(mid))
            L=mid;
        else
            R=mid;
    }
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        putchar(ans[i]);
    return 0;
}