[探究] [Luogu4550]收集邮票的概率意义

自认为这道题是一道比较简单的扩展题……？此处采用了和别的题解思路不同的，纯概率意义上的解法。

首先考虑一个简化版问题：

每次随机一个\([1,n]\)的整数，问期望几次能凑出所有数

这东西我写过一个blog，现在copy过来：

考虑期望的线性性，就是\(E=\sum E(i)\)，其中\(E\)为所求，\(E(i)\)为在已经取出\(i-1\)个数字时，取到第\(i\)个数字的期望。根据之前整理过的内容，“发生概率为\(p\)的事件，在期望\(\frac{1}{p}\)次之后会发生”，我们可以得到如下：

\[\begin{aligned}
P(i)& =\frac{n-(i-1)}{n} \\
E(i)& =\frac{1}{P(i)}=\frac{n}{n-i+1}
\end{aligned}
\]

然后把他们加起来就是

\[E=\sum\frac{n}{n-i+1}=\sum\frac{n}{i}
\]

思路是自然的。然后考虑本题，需要给每次操作附加一个权值。所以本质上我们可以分开计算，\(g_i\)表示已经取出\(i-1\)个数字时，取到第\(i\)个数字的期望步数，\(f_i\)表示期望步数的cost。

考虑如何计算\(f_i\)。假设从一开始到拿完\(i\)进行了\(p\)次操作，这一次拿\(i\)需要\(q\)次操作，那么这\(q\)次操作的\(\rm \sum cost\)就是

\[(p-q)\cdot q+q^2=pq
\]

这个原理需要编一下233.

大概就是考虑前一半是不考虑这一次拿，之前拿的次数，是要算进当前ans里的。后半部分\(q^2\)则是这一次拿数对彼此产生的贡献。首先是进行了\(q\)个操作，那么每次的贡献呢？我们考虑\(q\)的意义，\(q\)是“拿数次数的期望”，而“期望”则是所有情况的平均拿数次数，[（平均次数\(\times\)个数）\(=\) 总次数 ]，所以对彼此的贡献可以用\(q^2\)来刻画。

然后就递推一下就好：

	for (i = 1 ; i <= N ; ++ i)
		n = 1.0 * N / (N - i + 1),
		g[i] = g[i - 1] + n, f[i] = f[i - 1] + g[i] * n ;
	printf("%.2f", f[N])  ;