「SDOI2016」征途

征途

Pine开始了从S地到T地的征途。

从S地到T地的路可以划分成\(n\)段，相邻两段路的分界点设有休息站。

Pine计划用\(m\)天到达T地。除第\(m\)天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。

Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。

帮助Pine求出最小方差是多少。

设方差是\(v\)，可以证明，\(v\times m^2\)是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出\(v\times m^2\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le n \le 3000\)

题解

先推导一波方差。

\[s^2=\frac 1m\sum_{i=1}^m(\overline{v}-v_i)^2\\
=\frac 1m\left(m\overline{v}^2-2\overline{v}\sum_{i=1}^mv_i+\sum_{i=1}^m v_i^2\right)\\
=-\overline{v}^2+\frac 1m\sum_{i=1}^m v_i^2
\]

答案为

\[s^2m^2=-\left(\sum_{i=1}^mv_i^2\right)+m\sum_{i=1}^mv_i^2
\]

所以要最小化的就是\(\sum_{i=1}^mv_i^2\)。

斜率优化

设\(f(i,j)\)表示前\(i\)天走了前\(j\)段路程的最小代价。

\[f(i,j)=\min_{0\le k<j}\{f(i-1,k)+(s_j-s_k)^2\}
\]

化成一次函数式

\[2s_js_k+f(i,j)-s_j^2=f(i-1,k)+s_k^2
\]

点坐标很明显，单调队列维护下凸包即可。

时间复杂度\(O(mn)\)。话说我怎么几次都把\(j\)写成\(i\)，调了好久。

#include<bits/stdc++.h>
#define co const
#define il inline
template<class T> T read(){
	T x=0,w=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*w;
}
template<class T>il T read(T&x){
	return x=read<T>();
}
using namespace std;
#define int long long

co int N=3003;
int n,m,s[N];
int f[N][N],q[N];

int up(int i,int k1,int k2){
	return f[i][k2]+s[k2]*s[k2]-f[i][k1]-s[k1]*s[k1];
}
int down(int k1,int k2){
	return s[k2]-s[k1];
}
signed main(){
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+read<int>();
	for(int i=1;i<=n;++i) f[1][i]=s[i]*s[i];
	for(int i=2;i<=m;++i){
		int l=0,r=0;
		for(int j=1;j<=n;++j){
			while(l<r&&2LL*s[j]*down(q[l],q[l+1])>=up(i-1,q[l],q[l+1])) ++l;
			int k=q[l];
			f[i][j]=f[i-1][k]+(s[j]-s[k])*(s[j]-s[k]);
			while(l<r&&up(i-1,q[r],j)*down(q[r-1],q[r])<=up(i-1,q[r-1],q[r])*down(q[r],j)) --r;
			q[++r]=j; // edit 1:i->j
		}
	}
	printf("%lld\n",m*f[m][n]-s[n]*s[n]);
	return 0;
}

导数零点二分

这道题更像一个wqs二分的模板题，我现在把它叫做导数零点二分。

为什么呢？推荐FlashHu的博客。

考虑\(最优解-段数\)的函数图像，给每一段追加的权值相当于左右移动导函数的零点。我们要做的就是让零点恰好是我们要求的段数。

时间复杂度\(O(n \log s_n)\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define co const
#define il inline
template<class T> T read(){
	T x=0,w=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*w;
}
template<class T>il T read(T&x){
	return x=read<T>();
}
using namespace std;
#define int long long

co int N=3003;
int n,m,s[N];
int f[N],g[N];
int q[N],l,r;

int up(int a,int b){
	return f[b]+s[b]*s[b]-f[a]-s[a]*s[a];
}
int down(int a,int b){
	return s[b]-s[a];
}
void solve(int w){
	q[l=r=0]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		while(l<r&&2*s[i]*down(q[l],q[l+1])>up(q[l],q[l+1])) ++l; // edit 1:>=
		f[i]=f[q[l]]+w+(s[i]-s[q[l]])*(s[i]-s[q[l]]),g[i]=g[q[l]]+1;
		while(l<r&&up(q[r],i)*down(q[r-1],q[r])<up(q[r-1],q[r])*down(q[r],i)) --r;
		q[++r]=i;
	}
}
signed main(){
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+read<int>();
	int l=0,r=s[n]*s[n]/m,ans;
	while(l<r){
		int mid=(l+r)>>1;
		solve(mid);
		if(g[n]>m) l=mid+1;
		else ans=m*(f[n]-mid*m)-s[n]*s[n],r=mid;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}