Bzoj 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy(斜率优化)

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压

缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过

压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容

器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一

个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，

如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容

器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4

3

4

2

1

4

Sample Output

1

/*
DP.
n^2暴力20分。。。
方程显然...
f[i]=min(f[i],f[j-1]+(i-j+sum[i]-sum[j-1]-L)*(i-j+sum[i]-sum[j-1]-L)).
然后开始推斜率的式子...
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 50001
#define LL long long
using namespace std;
LL f[MAXN],n,L,sum[MAXN];
LL read()
{
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*f;
}
void slove()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=1e18;f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
          f[i]=min(f[i],f[j-1]+
          (i-j+sum[i]-sum[j-1]-L)*(i-j+sum[i]-sum[j-1]-L));
    }
    cout<<f[n];
}
int main()
{
    freopen("bzoj_1010.in","r",stdin);
    freopen("bzoj_1010.out","w",stdout);
    LL x;
    n=read(),L=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        x=read();
        sum[i]=sum[i-1]+x;
    }
    slove();
    return 0;
}

/*
斜率优化.
乱推一波式子.
就不写了 比较恶心.
为了方便,令sum[i]=(∑a[i])+i.
所以sum是单调的
上凸点是没有用的.
维护一个下凸性.
第一,二次都没推对,还是弱啊.
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 50001
#define LL long long
using namespace std;
LL f[MAXN],n,L,sum[MAXN],q[MAXN],c[MAXN];
LL read()
{
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*f;
}
double F(int x)
{
    return double(f[x]+sum[x]*sum[x]);
}
double check(int x,int y)
{
    return double(F(y)-F(x))/double(sum[y]-sum[x]);
}
void slove()
{
    int head=0,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<tail&&check(q[head],q[head+1])<2*(sum[i]-L-1)) head++;
        f[i]=f[q[head]]+(sum[i]-sum[q[head]]-L-1)*(sum[i]-sum[q[head]]-L-1);
        while(head<tail&&check(q[tail-1],q[tail])>check(q[tail],i)) tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    cout<<f[n];
}
int main()
{
    freopen("bzoj_1010.in","r",stdin);
    freopen("bzoj_1010.out","w",stdout);
    LL x;
    n=read(),L=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        x=read();
        c[i]=c[i-1]+x;
        sum[i]=c[i]+i;
    }
    slove();
    return 0;
}