题目

给出 $N(1 \leq N \leq 100)$ 个点的坐标 $x_i,y_i,z_i$($-100000 \leq x_i,y_i,z_i \leq 100000$),求包围全部点的最小的球。

2018南京区域赛D题

分析

方法一:模拟退火

模拟退火是 解决最小球覆盖的经典方法,效果也非常好。

随机得到球的中心,如果更小的半径或设定的概率,则转移。(详细解释见链接

//这个代码严格说不是模拟退火

有一个事实:最小球的球心,它不然是一个确定的点,就是距它最远的4个点且等距

于是,我们任选一个点作为初始球心,再在点集中找到距它最远的点,我们让球心靠近最远的点,同时使步长逐渐变小,不断重复此过程,就可以让球心到达正确的位置

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <cmath>
#include <set>
#define LL long long
using namespace std;
const int MAXN = ;
const double eps = 1e-;
struct Point
{
double x, y, z;
Point(double x = , double y = , double z = ) : x(x), y(y), z(z) { }
};
Point operator - (Point A, Point B)
{
return Point(A.x - B.x, A.y - B.y, A.z - B.z);
}
double dis(Point A, Point B)
{
double x = A.x - B.x;
double y = A.y - B.y;
double z = A.z - B.z;
return sqrt(x * x + y * y + z * z);
}
int n;
Point p[MAXN];
double SA(Point start)
{
double delta = 100.0;
double ans = 1e20;
while(delta > eps)
{
int d = ;
for(int i=;i<n;i++)
{
if(dis(p[i], start) > dis(p[d], start))
d = i;
}
double r = dis(start, p[d]);
ans = min(ans, r);
start.x += (p[d].x - start.x) / r * delta;
start.y += (p[d].y - start.y) / r * delta;
start.z += (p[d].z - start.z) / r * delta;
delta *= 0.98;
}
return ans;
}
int main()
{
int T, kcase = ;
//scanf("%d", &T);
while(scanf("%d", &n) && n)
{
//scanf("%d", &n);
for(int i=;i<n;i++)
scanf("%lf%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y, &p[i].z);
printf("%.8f\n", SA(Point(,,)));
}
return ;
}

这有一个严格按模拟退火的定义写的(精度较低,但更好理解

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for(int i = 1, i##_end_ = (n); i <= i##_end_; ++i)
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
typedef long long ll; const double eps = 1e-;
int sgn(double x) {
if(fabs(x) < eps) return ;
return x < ? - : ;
}
struct Point {
double x, y, z;
Point(double xp=, double yp=, double zp=): x(xp), y(yp), z(zp) { }
Point operator + (const Point& rhs) const { return Point(x+rhs.x, y+rhs.y, z+rhs.z); }
Point operator - (const Point& rhs) const { return Point(x-rhs.x, y-rhs.y, z-rhs.z); }
Point operator * (const double& k) const { return Point(x*k, y*k, z*k); }
Point operator / (const double& k) const { return Point(x/k, y/k, z/k); }
bool operator < (const Point& rhs) const { return x < rhs.x || (x==rhs.x && y<rhs.y) || (x==rhs.x&&y==rhs.y&&z<rhs.z); }
bool operator == (const Point& rhs) const {return sgn(x - rhs.x) == && sgn(y - rhs.y) == && sgn(z-rhs.z)==; }
void scan() { scanf("%lf%lf%lf", &x, &y, &z); }
};
typedef Point Vector; double dot(Vector x, Vector y) { return x.x*y.x + x.y*y.y + x.z*y.z; }
double length(Vector x) { return sqrt(dot(x, x)); }
double dist2(Point A, Point B) { return dot(A - B, A - B); }
// Circle
struct Circle {
Point o;
double r;
Circle(Point O, double R): o(O), r(R) { }
}; mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count()); double Eval(const vector<Point>& pt, Point o) {
double res = ;
for(auto g : pt) res = max(res, dist2(g, o));
return res;
}
uniform_real_distribution<double> rgen(0.0, 1.0);
double Rand(){ return rgen(rng); } Circle MinCircleAnneal(const vector<Point>& pt, double T, double dec, double ed) {
Point pcur, pbest, pnew; int sz = pt.size();
for(auto g : pt) pcur = pcur + g;
pbest = pcur = pcur / sz; double vcur = Eval(pt, pcur), vnew, vbest = vcur; while(T > ed) {
pnew = pcur + Point((Rand()*2.0-) * T, (Rand()*2.0-1.0) * T, (Rand()*2.0-) * T);
vnew = Eval(pt, pnew);
if(vnew <= vbest) vbest = vcur = vnew, pbest = pcur = pnew;
if(vnew <= vcur || Rand() < exp(-(vnew-vcur)/T))
vcur = vnew, pcur = pnew;
T *= dec;
} return Circle(pbest, sqrt(vbest));
} int n;
int main() {
scanf("%d", &n);
vector<Point> p(n);
for(int i = ; i < n; ++i) p[i].scan();
double ans = 1e13;
rep(i, ) {
Circle cir = MinCircleAnneal(p, 100000.0, 0.999, 3e-);
ans = min(ans, cir.r);
}
printf("%.10f\n", ans); return ;
}

2、三分套三分套三分

代码也很好理解,直接看代码吧

/*
三分求球的最小覆盖
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=;
const double eps=1e-;
int n;
double x[],y[],z[];
double dis3(double a,double b,double c){
double ans=;
for(int i=;i<=n;i++){
ans=max(ans,(x[i]-a)*(x[i]-a)+(y[i]-b)*(y[i]-b)+(z[i]-c)*(z[i]-c));
}
return ans;
}
double dis2(double a,double b){
double l=-;
double r=;
double ans=;
while(r-l>=eps){
double rmid=(r+l)/;
double lmid=(l+rmid)/;
if(dis3(a,b,lmid)<dis3(a,b,rmid)){
r=rmid;
}
else l=lmid;
}
return dis3(a,b,l);
}
double dis(double a){
double l=-;
double r=;
while(r-l>=eps){
double rmid=(r+l)/;
double lmid=(l+rmid)/;
if(dis2(a,lmid)<dis2(a,rmid)){
r=rmid;
}
else l=lmid;
}
return dis2(a,l);
}
int main(){
// int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)scanf("%lf%lf%lf",&x[i],&y[i],&z[i]);
double l=-;
double r=;
while(r-l>=eps){
double rmid=(r+l)/;
double lmid=(l+rmid)/;
if(dis(lmid)<dis(rmid)){
r=rmid;
}
else l=lmid;
}
printf("%.8f\n",sqrt(dis(l)));
return ;
}

不管用上面哪种方法,都需要结合题目的精度要求,调节参数,达到精度和时间的平衡。

1. http://www.voidcn.com/article/p-ffokglab-uy.html

2. https://www.cnblogs.com/MekakuCityActor/p/10613934.html

3. https://www.cnblogs.com/heisenberg-/p/6827790.html

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