BZOJ_1027_[JSOI2007]_合金_(计算几何+Floyd求最小环)

描述

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http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1027

共三种金属,\(m\)种材料,给出每种材料中三种金属的占比.

给出\(n\)种合金的三种金属占比.用材料做合金,问最少需要多少种材料.

分析

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首先,由于三种金属的占比相加为1,所以确定了前两项,最后一项也就确定了,我们可以用二唯坐标\((x,y)\)表示前两项,这样每种材料和合金就是二维平面上的一个点.

接下来是用材料做合金.

首先来考虑用两种材料做合金,两种材料为\((x1,y1)和(x2,y2)\).那么做成的合金就是\((kx1+(1-k)x2,ky1+(1-k)y2) ,0\leq{k}\leq1\).

记两种材料为两个向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\),那么合金就是$$k\overrightarrow{a}+(1-k)\overrightarrow{b}$$

等于$$k\overrightarrow{a}+(1-k)\overrightarrow{a}+(1-k)(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$$

也就是说合金的点在两个材料的点所连的线段上.

那么对于多个材料,我们把几个材料的点首尾相连,形成一个凸多边形,多边形内部的任意一点可以认为是在(多边形的两条边上的点所连的线段上),我们把那两个点做出来当作材料,就可以做出来多边形内部的点了.而多边形外部的点不在可做成的两点所连的线段上.

如果连成的是凹多边形呢?可以去掉一些材料变成材料种类更少的凸多边形.

所以就要把所有合金放在材料围成的多边形内部(或边上).我们把所有点都在同一侧的线段连一条长度为1的边,然后问题就转化为了求最小环,用Floyd即可.

注意:特殊情况,即所有合金都与一个材料重合,此时答案是1.其他情况全部可以一般化.

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 const int maxn=+;
 const double eps=1e-,INF=<<;
 int n,m;
 int d[maxn][maxn];
 inline int dcmp(double x){
     if(fabs(x)<eps) return ;
     return x>?:-;
 }
 struct pt{
     double x,y;
     pt(double x=,double y=):x(x),y(y){}
     pt operator - (const pt &a) const { return pt(x-a.x,y-a.y); }
     double operator * (const pt &a) const { return x*a.y-y*a.x; }
     double operator ^ (const pt &a) const { return x*a.x+y*a.y; }
     bool operator != (const pt &a) const { return (dcmp(a.x-x)||dcmp(a.y-y)); }
 }a[maxn],b[maxn];
 inline bool spj(){
     for(int i=;i<=m;i++){
         bool flag=true;
         for(int j=;j<=n;j++)if(a[i]!=b[j]){
             flag=false;
             break;
         }
         if(flag) return true;
     }
     return false;
 }
 inline bool J(pt p1,pt p2){
     for(int i=;i<=n;i++)if(dcmp((b[i]-p1)^(b[i]-p2))>) return false;
     return true;
 }
 inline int C(pt p1,pt p2){
     int l=,r=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         double t=(p2-p1)*(b[i]-p1);
         if(dcmp(t)>) l++;
         else if(dcmp(t)<) r++;
         if(l&&r) return ;
     }
     if(!l&&!r&&J(p1,p2)) return ;
     if(l) return ;
     if(r) return ;
     return ;
 }
 inline void floyd(){
     for(int k=;k<=m;k++)for(int i=;i<=m;i++)for(int j=;j<=m;j++)
         d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
     int ans=INF;
     for(int i=;i<=m;i++) ans=min(ans,d[i][i]);
     if(ans==INF){ puts("-1"); return; }
     printf("%d\n",ans);
 }
 inline void solve(){
     if(spj()){ puts(""); return; }
     for(int i=;i<=m;i++)for(int j=i+;j<=m;j++){
         int flag=C(a[i],a[j]);
         if(flag==) d[i][j]=;
         else if(flag==) d[j][i]=;
         else if(flag==) d[i][j]=d[j][i]=;
     }
     floyd();
 }
 inline void init(){
     scanf("%d%d",&m,&n); double t;
     for(int i=;i<maxn;i++)for(int j=;j<maxn;j++) d[i][j]=INF;
     for(int i=;i<=m;i++) scanf("%lf%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y,&t);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&b[i].x,&b[i].y,&t);
 }
 int main(){
     init();
     solve();
     return ;
 }

1027: [JSOI2007]合金

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[Submit][Status][Discuss]

Description

　　某公司加工一种由铁、铝、锡组成的合金。他们的工作很简单。首先进口一些铁铝锡合金原材料，不同种类的
原材料中铁铝锡的比重不同。然后，将每种原材料取出一定量，经过融解、混合，得到新的合金。新的合金的铁铝
锡比重为用户所需要的比重。 现在，用户给出了n种他们需要的合金，以及每种合金中铁铝锡的比重。公司希望能
够订购最少种类的原材料，并且使用这些原材料可以加工出用户需要的所有种类的合金。

Input

　　第一行两个整数m和n（m, n ≤ 500），分别表示原材料种数和用户需要的合金种数。第2到m + 1行，每行三
个实数a, b, c（a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1），分别表示铁铝锡在一种原材料中所占的比重。第m + 2到m +
 n + 1行，每行三个实数a, b, c（a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1），分别表示铁铝锡在一种用户需要的合金中
所占的比重。

Output

　　一个整数，表示最少需要的原材料种数。若无解，则输出–1。

Sample Input

10 10
0.1 0.2 0.7
0.2 0.3 0.5
0.3 0.4 0.3
0.4 0.5 0.1
0.5 0.1 0.4
0.6 0.2 0.2
0.7 0.3 0
0.8 0.1 0.1
0.9 0.1 0
1 0 0
0.1 0.2 0.7
0.2 0.3 0.5
0.3 0.4 0.3
0.4 0.5 0.1
0.5 0.1 0.4
0.6 0.2 0.2
0.7 0.3 0
0.8 0.1 0.1
0.9 0.1 0
1 0 0

Sample Output

5

HINT

Source