Floyd求最小环！（转载，非原创） 附加习题（原创。）HDU-1599

//Floyd 的 改进写法可以解决最小环问题，时间复杂度依然是 O(n^3)，储存结构也是邻接矩阵

int mincircle = infinity;
Dist = Graph;

for(int k=;k<nVertex;++k){
    //新增部分:
    for(int i=;i<k;++i)
        for(int j=;j<i;++j)
             mincircle = min(mincircle,Dist[i][j]+Graph[j][k]+Graph[k][i]);
    //通常的 floyd 部分:
    for(int i=;i<nVertex;++i)
        for(int j=;j<i;++j){
            int temp = Dist[i][k] + Disk[k][j];
            if(temp < Dist[i][j])
                 Dist[i][j] = Dist[j][i] = temp;
         }
}

以上为网上流传的Floyd求最小环的主代码。我们发现，最下面两重循环就是Floyd原来的代码，新增的就是上面那个判环部分。一开始，我不明白，为什么要把新增的放在前面，两者的顺序能不能调换？现在的理解是这样的：在第k层循环，我们要找的是最大结点为k的环，而此时Dist数组存放的是k-1层循环结束时的经过k-1结点的最短路径，也就是说以上求出的最短路是不经过k点的，这就刚好符合我们的要求。为什么呢？假设环中结点i,j是与k直接相连，如果先求出经过k的最短路，那么会有这样一种情况，即：i到j的最短路经过k。这样的话就形成不了环，显然是错误的。当时还有一个问题，就是为什么要多开一个Dist数组呢，一个Graph不是足够了吗？其实好好想想，出现的问题和前面是一个道理。如果只开Graph，那么它里面的值就会不断改变，也会存在路径覆盖的情况，导致形成不了环或不是最小环。举个例子：假设现在进行第k层循环，i,j为枚举出来与k直接相连的边。由于此时Graph是动态的，原来根本不存在i到k的一条边，现在可能经过其它结点形成了“边”，但它未必是与k直接相连的边。以上两个问题花了我半天时间来弄懂，由于网上也没有找到关于这些问题的（可能我比较笨吧），所以要写这些东西，但又写得挺乱……

题目大意：中文题，求三个地点形成的最小环。

解决方法：之上的floyd最小环算法；

AC代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
int n,m;
int map_[][];
int dis[][];
int main()
{
    while (cin>>n>>m)
    {
        memset(map_,INF,sizeof(map_));
        for (int i=; i<=m; i++)
        {
            int a,b,c;
            cin>>a>>b>>c;
            //cout<<a<<b<<c<<endl;
            map_[a][b]=map_[b][a]=min(c,map_[a][b]);
           // cout<<map_[a][b]<<map_[b][a]<<endl;
        }
        for (int i=; i<=n; i++)
        {
            for (int j=; j<=n; j++)
            {
               // cout<<map_[i][j]<<" ";
                dis[i][j]=map_[i][j];
            }//cout<<endl;;
        }
        int ans=INF;
        for (int k=; k<=n; k++)
        {
            for (int i=; i<=n; i++)
            {
                for(int j=; j<=n; j++)
                {
                    if (i!=j&&j!=k&&i!=k&&map_[i][k]!=INF&&map_[k][j]!=INF&&dis[i][j]!=INF)
                    {
                        ans=min(ans,dis[i][j]+map_[j][k]+map_[k][i]);
                        //cout<<ans<<endl;
                    }
                }
            }
            for (int i=; i<=n; i++)
            {
                for (int j=; j<=n; j++)
                {
                    dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
                }
            }
        }
        if (ans==INF) cout<<"It's impossible."<<endl;
        else
            cout<<ans<<endl;
    }
    return ;
}