洛谷 2868 [USACO07DEC]观光奶牛Sightseeing Cows

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一句话题意

L个点，P条有向边，求图中最大比率环（权值(Fun)与长度(Tim)的比率最大的环）。

Solution

巨说这是0/1分数规划。

话说 0/1分数规划 是真的难，但貌似有一些规律，总是离不开一个二分和带mid的不等式。

记环S=({vi},{ei})， 其中{vi}为环上结点的集合，{ei}为环上的边的集合

我们先分析一波公式：不过是要求\(\sum_{i=1}^{t}Fun[v[i]]/\sum_{i=1}^{t}Tim[e[i]]>mid\) 最小

不难想到要二分一个mid然后判定图上是否存在一个环S

使得

\[\sum_{i=1}^{t}Fun[e[i]]+\sum_{i=1}^{t}Tim[v[i]]>0
\]

也相当于判断

\[\sum_{i=1}^{t}{Fun[vi​]−mid∗Tim[ei​]}>0
\]

因为每个点有许多条出边，这样很难处理，但是每条边都只有一个连向的点，所以我们把左右两边都乘以-1，将对点的处理转变成对边的处理：

\[\sum_{i=1}^{t}mid∗Tim[ei​]-Fun[v[i]]<0
\]

那么思路便很明显了，对于每一个二分出来的mid，都跑一遍SPFA，而边权就是 mid*长度-连向点的点权，若有负环则L=mid，否则R=mid， 直到达到精度要求。

Coding

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4;
int vis[N],num[N],cnt,head[N],n,m;
double f[N],dis[N];
struct road
{
    int to,next;
    double t;
}e[N*10];
void add(int x,int y,double w)
{
    cnt++;
    e[cnt].to=y;
    e[cnt].next=head[x];
    e[cnt].t=w;
    head[x]=cnt;
}
bool check(double mid)
{
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        q.push(i);
        dis[i]=0; vis[i]=num[i]=1;
    }
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=0;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].to;
            if(dis[v]>dis[u]+mid*e[i].t-f[u])
            {
                dis[v]=dis[u]+mid*e[i].t-f[u];
                if(!vis[v])
                {
                    q.push(v);
                    vis[v]=1;
                    num[v]++;
                    if(num[v]>=n) return 1;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>f[i];
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        double w;
        cin>>x>>y>>w;
        add(x,y,w);
    }
    double mid,l=0,r=1000;
    while(r-l>0.0001)
    {
        mid=(l+r)/2;
        //printf("%lf %lf\n",l,r);
        if(check(mid)) l=mid;
        else r=mid;
    }
    printf("%.2lf",l);
    return 0;
}