bzoj 3996: [TJOI2015]线性代数【最小割】

把转置矩阵看成逆矩阵吓傻了233

首先按照矩乘推一下式子：

\[D=\sum_{i=1}^n a[i]*(\sum_{j=1}^n a[j]*b[j][i])-c[i]
\]

\[D=(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a[i]*a[j]*b[j][i])-(\sum_{i=1}^n a[i]*c[i])
\]

这样，很容易看出b是贡献部分，当a[i]a[j]同时为1的时候贡献b[i][j]+b[j][i]，否则不贡献；c是花费部分，a[i]选1就花费c[i]

有正负收益，所以考虑最小割，首先默认b全选，ans=Σb，然后建图，设最后割出来和s相连为选0，和t相连为选1：

连接(s,i,c[i])，表示如果割掉这条边i选0则花费c[i]；

连接(i,id(i,j),inf),(j,id(i,j),inf)，注意这里！id(i,j)==id(j,i)，表示一个无序二元组，这样连边表示不可割以便把操作引到边上

连接(id(i,j),t,b[i][j]+b[j][i])，表示ij中有一个选0（就是不断c的那条边）就需要割这一条

跑最小割即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=505;
int n,b[N][N],id[N][N],tot,s,t,h[N*N],cnt=1,le[N*N],ans;
struct qwe
{
	int ne,to,va;
}e[N*N*10];
int read()
{
	int r=0,f=1;
	char p=getchar();
	while(p>'9'||p<'0')
	{
		if(p=='-')
			f=-1;
		p=getchar();
	}
	while(p>='0'&&p<='9')
	{
		r=r*10+p-48;
		p=getchar();
	}
	return r*f;
}
void add(int u,int v,int w)
{
	cnt++;
	e[cnt].ne=h[u];
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].va=w;
	h[u]=cnt;
}
void ins(int u,int v,int w)
{
	add(u,v,w);
	add(v,u,0);
}
bool bfs()
{
	memset(le,0,sizeof(le));
	queue<int>q;
	le[s]=1;
	q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
			if(e[i].va>0&&!le[e[i].to])
			{
				le[e[i].to]=le[u]+1;
				q.push(e[i].to);
			}
	}
	return le[t];
}
int dfs(int u,int f)
{
	if(u==t||!f)
		return f;
	int us=0;
	for(int i=h[u];i&&us<f;i=e[i].ne)
		if(e[i].va>0&&le[e[i].to]==le[u]+1)
		{
			int t=dfs(e[i].to,min(e[i].va,f-us));
			e[i].va-=t;
			e[i^1].va+=t;
			us+=t;
		}
	if(!us)
		le[u]=0;
	return us;
}
int dinic()
{
	int r=0;
	while(bfs())
		r+=dfs(s,1e9);
	return r;
}
int main()
{
	n=tot=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			b[i][j]=read();
			if(i<=j)
				id[i][j]=id[j][i]=++tot;
			ans+=b[i][j];
		}
	s=0,t=tot+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ins(s,i,read());
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			ins(i,id[i][j],1e9);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i;j<=n;j++)
			ins(id[i][j],t,b[i][j]+b[j][i]);
	printf("%d\n",ans-dinic());
	return 0;
}