快速幂&&矩阵快速幂

快速幂

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1226

快速幂用了二分的思想，即将\(a^{b}\)的指数b不断分解成二进制的形式，然后相乘累加起来，就是用\(a^{b/2}×a^{b/2}\)去求\(a{^b}\)。

例如:\(a^{11}=a^{(2^0+2^1+2^3)}\)

程序实现是这样的（使用了位运算）：

ll pow(ll b,ll p,ll k)
{
    for(;p;p>>=1) //  >> 右移等同于 /2
    {
        if(p&1)  //判断p是否为奇数，是则返回true
          ans=ans*b%k;
        b=b*b%k;
    }
    return ans%k;
}

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
int k=1,m=0,flag;
ll ans=1;
ll pow(ll b,ll p,ll k)
{
    for(;p;p>>=1)
    {
        if(p&1)
          ans=ans*b%k;

        b=b*b%k;
    }
    return ans%k;
}
int main()
{
    ll b,p,k;
    cin>>b>>p>>k;
    ll m=pow(b,p,k)%k;
    printf("%d^%d mod %d=%d",b,p,k,m);
    return 0;
}

矩阵快速幂

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3390

矩阵运算法则

矩阵A的大小为\(n×m\)，B的大小为\(n×k\)，设\(C=A×B\)

则\(C_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^{n}A_{i,p}×B_{p,j}\)

例：

矩阵乘满足结合律：\((AB)C=A(BC)\)

有一种特殊的矩阵：单位矩阵，它从左上角到右下角的对角线上的元素均为1，除此以外全都为0。它在矩阵乘中相当于数乘中的1，即任何矩阵乘它都等于本身。

以上这些就是打出矩阵快速幂前必备的基础知识了。

代码实现

• 理解了矩阵乘法之后，我们就可以用函数来模拟矩阵乘了。

Mat Mul(Mat x,Mat y)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=n;j++)
        c.m[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++)
        {
            c.m[i][j]=c.m[i][j]%mod+x.m[i][k]*y.m[k][j]%mod;
          }
    return c;
}

• 因为矩阵乘满足结合律，所以快速幂完全适用于矩阵，矩阵快速幂和普通快速幂几乎一模一样，不同点在于“*”号改成了Mul函数（不会普通快速幂的请前往P1226）

Mat pow(Mat x,ll y)
{
    Mat ans=e;
    while(y)
    {
        if(y&1)
         ans=Mul(ans,x);
        x=Mul(x,x);
        y>>=1;
    }
    return ans;
}

知道了这些后，这道题基本就可以AC了

最后要注意开long long，不然会爆零。

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#define mod 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
struct Mat{
    ll m[101][101];
};//结构体存矩阵
Mat a,e;//a是输入的矩阵，e是单位矩阵
ll n,p;
Mat Mul(Mat x,Mat y) //矩阵乘
{
    Mat c;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=n;j++)
        c.m[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++)
        {
            c.m[i][j]=c.m[i][j]%mod+x.m[i][k]*y.m[k][j]%mod;
          }
    return c;
}
Mat pow(Mat x,ll y) //矩阵快速幂
{
    Mat ans=e;
    while(y)
    {
        if(y&1)
         ans=Mul(ans,x);
        x=Mul(x,x);
        y>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    //输入
    cin>>n>>p;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=n;j++)
        cin>>a.m[i][j];
     //算法核心
    for(int i=1;i<=n;i++)
        e.m[i][i]=1;
    Mat ans=pow(a,p);
    //输出
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
          cout<<ans.m[i][j]%mod<<" ";
        cout<<endl;
    }  

    return 0;
}

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