R语言 决策树算法

###决策树基础概念
在机器学习中，决策树是一个预测模型，他代表的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。Entropy （熵） 表示的是系统的凌乱程度，它是决策树的决策依据，熵的概念来源于香侬的信息论。

###决策树的决策过程

• 选择分裂特征：根据某一指标（信息增益，信息增益比或基尼系数）计算不同特征的指标值，选出最佳的特征作为分裂节点。
• 生成决策树：不断的重复分裂特征选择，并从上至下递归生成子节点，直到数据集不可分则停止决策树的生长。
• 决策树调整：完全展开的决策树一般容易过拟合，需要进行一定程度的剪枝（减少决策树的深度或子节点的数量）

###信息熵极其衍生概念
在具体的决策树算法前先理解下基础概念信息熵。

####信息熵和条件熵
信息熵（entropy）是消除不确定性所需信息量的度量，也即未知事件可能含有的信息量。它可以衡量一个随机变量出现的期望值。如果信息的不确定性越大，熵的值也就越大，出现的各种情况也就越多。比如在2018年世界杯开始前预测哪个球队会获得冠军，这个随机变量的不确定性很高，要消除这个不确定性，就需要引入很多的信息，即信息熵很大。而预测中国队获得冠军，这个事件的确定性很高（中国没有进入世界杯），几乎不需要引入新信息，因而信息熵很低。

信息熵公式表示为：



其中，X为所有事件集合，p为事件发生概率，n为特征总数。

条件熵（conditional entropy） 可以表示为已知某一个随机变量的情况下另一个变量的不确定性。



条件熵H(Y|X)表示在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。

####信息增益
信息增益（information gain）表示得知特征X的信息而使得类Y的信息的不确定性减少的程度。即使用某一特征进行分裂前后熵的差值。

特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A)，定义为集合D的熵H(D)与特征A给定条件下D的条件熵H(D|A)之差。

####信息增益比
信息增益比是信息增益和熵的比值。

特征A对训练数据集D的信息增益比gR(D,A)定义为其信息增益g(D,A)与训练数据集D关于特征A的值的熵HA(D)之比。

###决策树分类
目前主流的决策树有ID3,C4.5,CART等。

####决策树之ID3
ID3算法是以信息增益为准则选择分裂后信息增益最大的属性进行分裂。

ID3的实现过程：

• 初始化属性集合和数据集合
• 计算数据集合信息熵S和所有属性的信息熵，选择信息增益最大的属性作为当前决策节点
• 更新数据集合和属性集合（删除掉上一步中使用的属性，并按照属性值来划分不同分支的数据集合）
• 依次对每种取值情况下的子集重复第二步
• 若子集只包含单一属性，则为分支为叶子节点，根据其属性值标记。
• 完成所有属性集合的划分

ID3算法存在的问题：

• 信息增益对可取值数目较多的属性有所偏好，比如通过ID号可将每个样本分成一类，但是没有意义。
• ID3只能对离散属性的数据集构造决策树。
• 没有剪枝过程，为了去除过渡数据匹配的问题，可通过裁剪合并相邻的无法产生大量信息增益的叶子节点。

####决策树之C4.5
C4.5算法是ID3算法的一种改进。它是以信息增益率为准则选择属性。

C4.5相对于ID3改进的地方：

• 在信息增益的基础上对属性有一个惩罚，抑制可取值较多的属性，增强泛化性能。
• 在树的构造过程中可以进行剪枝，缓解过拟合；
• 同时能够对连续属性进行离散化处理（二分法）；
• 还能够对缺失值进行处理；但在构造树的过程需要对数据集进行多次顺序扫描和排序，导致算法低效；

离散化处理过程：

• 将需要处理的样本（对应根节点）或样本子集（对应子树）按照连续变量的大小从小到大进行排序
• 假设该属性对应不同的属性值共N个，那么总共有N-1个可能的候选分割值点，每个候选的分割阈值点的值为上述排序后的属性值中两两前后连续元素的中点
• 用信息增益选择最佳划分

####决策树之CART
CART算法可以进行分类和回归，可以处理离散属性，也可以处理连续的。但数据对象的属性特征为离散型或连续型，并不是区别分类树与回归树的标准。

作为分类决策树时，待预测样本落至某一叶子节点，则输出该叶子节点中所有样本所属类别最多的那一类（即叶子节点中的样本可能不是属于同一个类别，则多数为主）；作为回归决策树时，待预测样本落至某一叶子节点，则输出该叶子节点中所有样本的均值。

因此，分类树使用GINI系数来选择划分属性：在所有候选属性中，选择划分后GINI系数最小的属性作为优先划分属性。而回归树使用用最小平方差。

####CART之分类树
分类树使用GINI增益系数来选择划分属性，GINI增益系数表示的是分裂后子样本的纯净度，GINI增益系数越小，子样本的纯净度越高，分裂效果越好，它和熵的作用刚好相反。

GINI系数公式：

其中，pi表示分类结果中第i类出现的概率。

GINI增益系数公式：

####CART之回归树
区别于分类树，回归树的待预测结果为连续型数据。同时，区别于分类树选取Gain_GINI为评价分裂属性的指标，回归树选取Gain_σ（可以称之为方差增益）为评价分裂属性的指标。选择具有最小Gain_σ的属性及其属性值，作为最优分裂属性以及最优分裂属性值。Gain_σ值越小，说明二分之后的子样本的“差异性”越小，说明选择该属性（值）作为分裂属性（值）的效果越好。

平方差公式：

其中，μ表示样本集中预测结果的均值。

Gain_σ公式：

####R决策树实现
R中有实现决策树算法的包rpart，和画出决策树的包rpart.plot

生成树 :rpart () 函数

rpart (formula , data , weights , subset , na. action= na. rpart , method , model = FALSE , x = FALSE ,y = TRUE , parms , control , cost , . . . )

主要参数说明 :
* formula 回归方程形式 : 例如 　 y～x1 + x2 + x3 。
* data 数据 : 包含前面方程中变量的数据框 ( dataframe)
* na . action 缺失数据的处理办法 : 默认办法是删除因变量缺失的观测而保留自变量缺失的观测。
* method 根据树末端的数据类型选择相应变量分割方法 ,本参数有四种取值 : 连续型 ] “anova” ; 离散型 ]“ class” ; 计数型 ( 泊松过程) ] “ poisson” ; 生存分析型 ] “ exp ”。程序会根据因变量的类型*
* 自动选择方法 ,但一般情况下最好还是指明本参数 ,以便让程序清楚做哪一种树模型。
* parms 用来设置三个参数 : 先验概率、损失矩阵、分类纯度的度量方法。
* control 控制每个节点上的最小样本量、交叉验证 的 次 数、复 杂 性 参 量 : 即 cp : com plexit y
* pamemeter ,这个参数意味着对每一步拆分 , 模型的拟合优度必须提高的程度 ,等等。

剪枝 :prune () 函数
函数用法 :prune ( tree , . . . ) 　　 prune ( tree , c p , . . . )
* tree 一个回归树对象 ,常是 r part () 的结果对象。
* cp 复杂性参量 ,指定剪枝采用的阈值。

建模实例

library(rpart)

model<-rpart(Species~Sepal.Length+Sepal.Width+Petal.Length+Petal.Width,
             data=iris,method="class",control=5,
             parms=list(prior=c(0.3,0.4,0.3), split = "information"))

plot(model,margin=0.2)
text(model,use.n=T,all=T,cex=0.9)

决策树画出来的结果