codevs 1281 Xn数列

题目描述 Description

给你6个数，m, a, c, x0, n, g

Xn+1 = ( aXn + c ) mod m，求Xn

m, a, c, x0, n, g<=10^18

输入描述 Input Description

一行六个数 m, a, c, x0, n, g

输出描述 Output Description

输出一个数 Xn mod g

样例输入 Sample Input

11 8 7 1 5 3

样例输出 Sample Output

2

　　很久没有写博客了……先写道水题压压惊

　　由于不想写矩乘(不要问我为什么)，所以我就开始了推式子(其实就是想当做数学题来做)。

　　首先，由于$x_i=ax_{i-1}+c$，那么$x_n={a^nx_0+\sum_{i=0}^{n-1}a^ic}$

　　那么，写个快速幂，前面一部分就出来了。再设$f_x=\sum_{i=0}^{x}a^i$，$y=\lfloor x/2 \rfloor$，那么有：

$$ f_x= \begin{cases} (a^{y+1}+1)f_{y} &(x \bmod 2=1) \\ f_{x-1}+a^x&(x \bmod 2=0) \end{cases} $$

　　最后，由于模数是$10^{18}$级别的，还要写个快速乘法。

　　下面贴代码(好像一不小心多写了若干个$\log$)：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

 using namespace std;
 typedef long long llg;

 llg m,a,c,x0,g,n,ans;

 void gi(llg &h){if(h>=m) h%=m;}
 llg ch(llg a,llg b){
     llg s=;
     if(a<b) swap(a,b);
     while(b){
         if(b&) s+=a,gi(s);
         a<<=,gi(a); b>>=;
     }
     return s;
 }

 llg mi(llg a,llg b){
     llg s=;
     while(b){
         if(b&) s=ch(s,a);
         a=ch(a,a); b>>=;
     }
     return s;
 }

 llg solve(llg x){
     if(!x) return ;
     llg s,u=(x-)>>;
     s=ch(solve(u),mi(a,u+)+);
     if(!(x&)) s+=mi(a,x),gi(s);
     return s;
 }

 int main(){
     scanf("%lld %lld %lld %lld %lld %lld",&m,&a,&c,&x0,&n,&g);
     ans=ch(mi(a,n),x0);
     ans+=ch(solve(n-),c); gi(ans);
     printf("%lld",ans%g);
     return ;
 }