[WikiOI "天梯"1281] Xn数列

题目描述Description

给你6个数，m, a, c, x0, n, g

X_n+1 = ( aX_n + c ) mod m，求Xn

m, a, c, x0, n, g<=10^18

输入描述Input Description

一行六个数 m, a, c, x0, n, g

输出描述Output Description

输出一个数 X_n mod g

样例输入Sample Input

11 8 7 1 5 3

样例输出Sample Output

2

数据范围及提示Data Size & Hint

int64按位相乘可以不要用高精度。

题目分析
        典型的矩阵快速幂问题。由递推式 X_n+1 = ( aX_n + c ) mod m 可以构造出矩阵方程：

那么题目所求就可转化为一个1*2矩阵与n个二阶方阵的矩阵链乘。根据矩阵乘法的结合律，可得出：

    即可转化为矩阵快速幂问题。其中的乘法运算已改为了倍增取模乘法。

 

 1 //WikiOI 1281 Xn数列
 2 #include <iostream>
 3 using namespace std;
 4 typedef long long LL;
 5 LL m, a, c, x0, n, MOD;
 6 LL mlti(LL a, LL b) //倍增取模乘法
 7 {
 8     a %= m;
 9     LL ans = ;
     while(b)
     {
         if(b & )ans = (ans + a)% m;
         a = (a << )% m;
         b >>= ;
     }
     return ans;
 }
 struct Matrix2
 {
     LL val[][];
     Matrix2(LL k1,LL k2,LL k3,LL k4)
     {
         val[][] = k1; val[][] = k2; val[][] = k3; val[][] = k4;
     }
     void Mlti(Matrix2 &m) //矩阵乘法
     {
         LL v1 = mlti(val[][],m.val[][])+mlti(val[][],m.val[][]);
         LL v2 = mlti(val[][],m.val[][])+mlti(val[][],m.val[][]);
         LL v3 = mlti(val[][],m.val[][])+mlti(val[][],m.val[][]);
         LL v4 = mlti(val[][],m.val[][])+mlti(val[][],m.val[][]);
         val[][] = v1,val[][] = v2,val[][] = v3,val[][] = v4;
     }
 };
 
 int main()
 {
     ios::sync_with_stdio(); //感谢陈思学长!
     cin >>m >>a >>c >>x0 >>n >>MOD;
     Matrix2 M(a, , , );
     Matrix2 ans = M;
     n -= ;
     while(n)
     {
         if(n & ) ans.Mlti(M);
         M.Mlti(M);
         n >>=;
     }
     cout << ((mlti(x0, ans.val[][])+mlti(c, ans.val[][]))%m)%MOD;
     return ;
 }