递归算法（三）——不借助四则运算实现加法

问题

求两个整型变量的和，不能使用四则运算，但可以使用位运算。

思路

以二进制形式，考虑两个整数相加：

a = 01101001b

b = 11100111b

s =  ????????

一个常见的结论是：

我们在进行二进制加法的时候（类比十进制加法），若无进位，则直接写上结果；若有进位，则写一个进位标志，作为累计，在高位计算时加入。

也就是说，结果是由截断二进制位和及其进位标志相加而得的。

思考：两个数的和 == 截断二进制位和+进位和，这种转化分解是否可行？

证明：讨论两个1bit相加出现的全部情况，一共有四种。

1. 0 + 0 = 0 + 00
2. 0 + 1 = 1 + 00
3. 1 + 0 = 1 + 00
4. 1 + 1 = 0 + 10

等式左边为一位相加，右边为截断结果s和进位c相加，可以看出，等式成立，因此这种转化方式可行。

将等式记为：

a + b = s + c

我们来寻求a、b和s、c的关系。

很容易证明：

• s=a^b，^表示异或，即a、b不同时返回0，相同时返回1。
• c=(a&b)<<1，&表示与，即a、b都为1时返回1，否则返回0；<<表示二进制左移，<<1即乘以2。

这样，转化关系式就得出了：

a + b = a ^ b + (a & b) << 1

但是，在转化关系求出后，还存在一个问题：既然存在转化关系，就有递归调用（迭代），那递归的出口是什么？

如果可以求出递归出口，那么这个方法就完美了。

这相当于问：

a 和 b 有没有终止条件（或者说极限）？

我们假设a和b都是n位二进制数（补码表示，这样a和b的正负性不影响结果），令c=a+b。

初始时，用二进制表示，a = a[n-1] a[n-2] … a[1] a[0]，b = b[n-1] b[n-2] … b[1] b[0]，c = c[n-1] c[n-2] … c[1] c[0]。

第一次迭代。a=a^b；b=(a&b)<<1。b必为偶数，这样b[0]就是0，又由于a+b=c，故a[0]=c[0]-b[0]=c[0]。

结果为：

a = a[n-1] a[n-2] … a[2] a[1] c[0]，

b = b[n-1] b[n-2] … b[2] b[1] 0。

第二次迭代。对于a和b最后一位，运算后结果保持不变，所以问题就归结为a[n-1]~a[1]和b[n-1]~b[1]间的迭代。

结果为：

a = a[n-1] a[n-2] … a[2] c[1] c[0]，

b = b[n-1] b[n-2] … b[2] 0 0。

……

第n次迭代。递推可得：

a = c[n-1] c[n-2] … c[1] c[0]，

b = 0 0 … 0 0。

所以，a=c，b=0，这就是收敛条件，即递归出口。证毕。

我们还可以得出其他结论：

1. 迭代次数的上界是n，超过n，立即收敛。
2. 假如b的二进制表示的前缀0有许多，那么收敛速度将大大增加。
3. 在迭代过程中，a呈指数增加，b呈指数减少，比率近似于2。
4. 假如a和b当中有负数，结果也是正确的，因为位运算是纯二进制运算（补码表示）。

实现

function sum(a,b)
{
    return b?sum(a^b,(a&b)<<1):a;
}