Bzoj 3813 奇数国 题解 数论+线段树+状压

3813: 奇数国

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Description

在一片美丽的大陆上有100000个国家，记为1到100000。这里经济发达，有数不尽的账房，并且每个国家有一个银行。某大公司的领袖在这100000个银行开户时都存了3大洋，他惜财如命，因此会不时地派小弟GFS清点一些银行的存款或者让GFS改变某个银行的存款。该村子在财产上的求和运算等同于我们的乘法运算，也就是说领袖开户时的存款总和为3100000。这里发行的软妹面额是最小的60个素数（p1=2,p2=3,…,p60=281），任何人的财产都只能由这60个基本面额表示，即设某个人的财产为fortune（正整数），则fortune=p1^k1*p2^k2*......p60^K60。

 

领袖习惯将一段编号连续的银行里的存款拿到一个账房去清点，为了避免GFS串通账房叛变，所以他不会每次都选择同一个账房。GFS跟随领袖多年已经摸清了门路,知道领袖选择账房的方式。如果领袖选择清点编号在[a,b]内的银行财产，他会先对[a,b]的财产求和（计为product），然后在编号属于[1,product]的账房中选择一个去清点存款，检验自己计算是否正确同时也检验账房与GFS是否有勾结。GFS发现如果某个账房的编号number与product相冲，领袖绝对不会选择这个账房。怎样才算与product不相冲呢？若存在整数x,y使得number*x+product*y=1，那么我们称number与product不相冲，即该账房有可能被领袖相中。当领袖又赚大钱了的时候，他会在某个银行改变存款，这样一来相同区间的银行在不同的时候算出来的product可能是不一样的，而且领袖不会在某个银行的存款总数超过1000000。

 

现在GFS预先知道了领袖的清点存款与变动存款的计划，想请你告诉他，每次清点存款时领袖有多少个账房可以供他选择，当然这个值可能非常大，GFS只想知道对19961993取模后的答案。

Input

第一行一个整数x表示领袖清点和变动存款的总次数。

接下来x行，每行3个整数ai,bi,ci。ai为0时表示该条记录是清点计划，领袖会清点bi到ci的银行存款，你需要对该条记录计算出GFS想要的答案。ai为1时表示该条记录是存款变动，你要把银行bi的存款改为ci，不需要对该记录进行计算。

Output

输出若干行，每行一个数，表示那些年的答案。

Sample Input

6
013
115
013
117
013
023

Sample Output

18
24
36
6
explanation
初始化每个国家存款都为3;
1到3的product为27，[1,27]与27不相冲的有18个数;
1的存款变为5;
1到3的product为45，[1,45]与45不相冲的有24个数;
1的存款变为7;
1到3的product为63，[1,63]与63不相冲的有36个数;
2到3的product为9，[1,9]与9不相冲的有6个数。

HINT

x≤100000，当ai=0时0≤ci−bi≤100000

Source

2015年国家集训队测试

　　这是一道好题啊……

　　题目里的每一句话都暗藏玄机……

　　题目关键点在于number与product的关系，number*x+product*y=1的条件就是他们互质，所以我们实际要求的是porduct的欧拉函数。当然了，线筛肯定滚粗，我们还得看题目。他说任何人的财产都可以用那60个素数表示，良心啊。这样我们就可以用唯一分解来求欧拉函数了。

　　但是，问题在于我们怎么去求他的因子呢？线段树求出来的是在模完之后的，不可能通过它去求。所以我们还得维护一下因子。

　　由于博主太过蒟蒻，所以傻乎乎的拿了一个bool数组去存，然后T到死……

　　没办法，只能怂一波。万万没想到，一个long long就可以解决了。不知道大家有没有对本题涉及到的质数的个数60感到好奇呢？是的，long long极限是2^63-1，所以long long状压刚好可以，所以我们只要在线段树里用一个long long状压表示因子有谁就好了。

 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <map>
 #include <vector>
 #define N 100005
 using namespace std;
 int n,p=;
 long long ksm(long long x,long long z)
 {
     long long ans=;
     while(z)
     {
         if(z&)
         {
             ans*=x;
             ans%=p;
         }
         x*=x;x%=p;
         z>>=;
     }
     return ans;
 }
 int zz,ss[];
 struct no{
     int left,right,mid;
     long long data,pp;
 }node[N*];
 void build(int left,int right,int x)
 {
     node[x].left=left,node[x].right=right;
     node[x].pp|=(<<1ll);
     if(left==right)
     {
         node[x].data=;
         return;
     }
     int mid=(left+right)>>;
     node[x].mid=mid;
     build(left,mid,x*);
     build(mid+,right,*x+);
     node[x].data=node[*x].data*node[*x+].data;
     node[x].data%=p;
 }
 void change(int to,int x,long long z)
 {
     if(node[x].left==node[x].right)
     {
         node[x].data=z;
         node[x].pp=;
         for(int i=;i<=zz;i++)
         {
             if(z%ss[i]==) node[x].pp|=(1ll<<(i-1ll));
         }
         return;
     }
     int mid=node[x].mid;
     if(to>mid)change(to,*x+,z);
     else change(to,*x,z);
     node[x].data=node[*x].data*node[*x+].data;
     node[x].data%=p;
     node[x].pp=node[*x].pp|node[*x+].pp;
 }
 long long pp;
 long long get(int left,int right,int x)
 {
     if(node[x].left==left&&node[x].right==right)
     {
         pp|=node[x].pp;
         return node[x].data;
     }
     int mid=node[x].mid;
     if(left>mid)return get(left,right,*x+);
     else if(right<=mid)return get(left,right,*x);
     else return get(left,mid,*x)*get(mid+,right,*x+)%p;
 }
 long long ni[];
 void init()
 {
     for(int i=;zz<;i++)
     {
         zz++;
         ss[zz]=i;
         for(int j=;j<=sqrt(i);j++)
         {
             if(i%j==)
             {
                 ss[zz]=;
                 zz--;
                 break;
             }
         }
     }
     for(int i=;i<=;i++)ni[i]=ksm(ss[i],p-);
 }
 int main()
 {
     init();
     scanf("%d",&n);
     build(,,);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int op;
         scanf("%d",&op);
         if(op)
         {
             long long x,y;
             scanf("%lld%lld",&x,&y);
             change(x,,y);
         }
         else
         {
             long long x,y;
             pp=;
             scanf("%d%d",&x,&y);
             long long pro=get(x,y,);
             long long ans=pro;
             for(int i=;i<=zz;i++)
             {
                 if(pp&(1ll<<(i-1ll)))
                 {
                     ans*=ni[i];
                     ans%=p;
                     ans*=(ss[i]-);
                     ans%=p;
                 }
             }
             printf("%lld\n",ans);
         }
     }
     return ;
 }