[ch03-02] 交叉熵损失函数

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3.2 交叉熵损失函数

交叉熵（Cross Entropy）是Shannon信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。在信息论中，交叉熵是表示两个概率分布 $p,q$ 的差异，其中 $p$ 表示真实分布，$q$ 表示非真实分布，那么$H(p,q)$就称为交叉熵：

\[H(p,q)=\sum_i p_i \cdot \ln {1 \over q_i} = - \sum_i p_i \ln q_i \tag{1}\]

交叉熵可在神经网络中作为损失函数，$p$ 表示真实标记的分布，$q$ 则为训练后的模型的预测标记分布，交叉熵损失函数可以衡量 $p$ 与 $q$ 的相似性。

交叉熵函数常用于逻辑回归(logistic regression)，也就是分类(classification)。

3.2.1 交叉熵的由来

信息量

信息论中，信息量的表示方式：

\[I(x_j) = -\ln (p(x_j)) \tag{2}\]

$x_j$：表示一个事件

$p(x_j)$：表示$x_j$发生的概率

$I(x_j)$：信息量，$x_j$越不可能发生时，它一旦发生后的信息量就越大

假设对于学习神经网络原理课程，我们有三种可能的情况发生，如表3-2所示。

表3-2 三种事件的概论和信息量

事件编号	事件	概率 $p$	信息量 $I$
$x_1$	优秀	$p=0.7$	$I=-\ln(0.7)=0.36$
$x_2$	及格	$p=0.2$	$I=-\ln(0.2)=1.61$
$x_3$	不及格	$p=0.1$	$I=-\ln(0.1)=2.30$

WoW，某某同学不及格！好大的信息量！相比较来说，“优秀”事件的信息量反而小了很多。

熵

\[H(p) = - \sum_j^n p(x_j) \ln (p(x_j)) \tag{3}\]

则上面的问题的熵是：

\[
\begin{aligned}
H(p)&=-[p(x_1) \ln p(x_1) + p(x_2) \ln p(x_2) + p(x_3) \ln p(x_3)] \\
&=0.7 \times 0.36 + 0.2 \times 1.61 + 0.1 \times 2.30 \\
&=0.804
\end{aligned}
\]

相对熵(KL散度)

相对熵又称KL散度，如果我们对于同一个随机变量 $x$ 有两个单独的概率分布 $P(x)$ 和 $Q(x)$，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异，这个相当于信息论范畴的均方差。

KL散度的计算公式：

\[D_{KL}(p||q)=\sum_{j=1}^n p(x_j) \ln{p(x_j) \over q(x_j)} \tag{4}\]

$n$ 为事件的所有可能性。$D$ 的值越小，表示 $q$ 分布和 $p$ 分布越接近。

交叉熵

把上述公式变形：

\[
\begin{aligned}
D_{KL}(p||q)&=\sum_{j=1}^n p(x_j) \ln{p(x_j)} - \sum_{j=1}^n p(x_j) \ln q(x_j) \\
&=- H(p(x)) + H(p,q)
\end{aligned}
\tag{5}
\]

等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：

\[H(p,q) =- \sum_{j=1}^n p(x_j) \ln q(x_j) \tag{6}\]

在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即$D_{KL}(y||a)$，由于KL散度中的前一部分$H(y)$不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用交叉熵做损失函数来评估模型。

\[loss =- \sum_{j=1}^n y_j \ln a_j \tag{7}\]

其中，$n$ 并不是样本个数，而是分类个数。所以，对于批量样本的交叉熵计算公式是：

\[J =- \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n y_{ij} \ln a_{ij} \tag{8}\]

$m$ 是样本数，$n$ 是分类数。

有一类特殊问题，就是事件只有两种情况发生的可能，比如“学会了”和“没学会”，称为$0/1$分布或二分类。对于这类问题，由于$n=2$，所以交叉熵可以简化为：

\[loss =-[y \ln a + (1-y) \ln (1-a)] \tag{9}\]

二分类对于批量样本的交叉熵计算公式是：

\[J= - \sum_{i=1}^m [y_i \ln a_i + (1-y_i) \ln (1-a_i)] \tag{10}\]

3.2.2 二分类问题交叉熵

把公式10分解开两种情况，当$y=1$时，即标签值是1，是个正例，加号后面的项为0：

\[loss = -\ln(a) \tag{11}\]

横坐标是预测输出，纵坐标是损失函数值。y=1意味着当前样本标签值是1，当预测输出越接近1时，损失函数值越小，训练结果越准确。当预测输出越接近0时，损失函数值越大，训练结果越糟糕。

当y=0时，即标签值是0，是个反例，加号前面的项为0：

\[loss = -\ln (1-a) \tag{12}\]

此时，损失函数值如图3-10。

图3-10 二分类交叉熵损失函数图

假设学会了课程的标签值为1，没有学会的标签值为0。我们想建立一个预测器，对于一个特定的学员，根据出勤率、课堂表现、作业情况、学习能力等等来预测其学会课程的概率。

对于学员甲，预测其学会的概率为0.6，而实际上该学员通过了考试，真实值为1。所以，学员甲的交叉熵损失函数值是：

\[
loss_1 = -(1 \times \ln 0.6 + (1-1) \times \ln (1-0.6)) = 0.51
\]

对于学员乙，预测其学会的概率为0.7，而实际上该学员也通过了考试。所以，学员乙的交叉熵损失函数值是：

\[
loss_2 = -(1 \times \ln 0.7 + (1-1) \times \ln (1-0.7)) = 0.36
\]

由于0.7比0.6更接近1，是相对准确的值，所以 $loss2$ 要比 $loss1$ 小，反向传播的力度也会小。

3.2.3 多分类问题交叉熵

当标签值不是非0即1的情况时，就是多分类了。假设期末考试有三种情况：

优秀，标签值OneHot编码为$[1,0,0]$
及格，标签值OneHot编码为$[0,1,0]$
不及格，标签值OneHot编码为$[0,0,1]$

假设我们预测学员丙的成绩为优秀、及格、不及格的概率为：$[0.2,0.5,0.3]$，而真实情况是该学员不及格，则得到的交叉熵是：

\[
loss_1 = -(0 \times \ln 0.2 + 0 \times \ln 0.5 + 1 \times \ln 0.3) = 1.2
\]

假设我们预测学员丁的成绩为优秀、及格、不及格的概率为：$[0.2,0.2,0.6]$，而真实情况是该学员不及格，则得到的交叉熵是：

\[
loss_2 = -(0 \times \ln 0.2 + 0 \times \ln 0.2 + 1 \times \ln 0.6) = 0.51
\]

可以看到，0.51比1.2的损失值小很多，这说明预测值越接近真实标签值（0.6 vs 0.3），交叉熵损失函数值越小，反向传播的力度越小。

3.2.4 为什么不能使用均方差做为分类问题的损失函数？

回归问题通常用均方差损失函数，可以保证损失函数是个凸函数，即可以得到最优解。而分类问题如果用均方差的话，损失函数的表现不是凸函数，就很难得到最优解。而交叉熵函数可以保证区间内单调。
分类问题的最后一层网络，需要分类函数，Sigmoid或者Softmax，如果再接均方差函数的话，其求导结果复杂，运算量比较大。用交叉熵函数的话，可以得到比较简单的计算结果，一个简单的减法就可以得到反向误差。