Harbour.Space Scholarship Contest 2021-2022 (Div. 1 + Div. 2) Editorial题解

A

略，发现只有当末尾为9时才满足条件..

B

简单模拟，注意数组大小！！！

C

简单模拟。

D

比较暴力的一个做法就是每次找一个开始匹配的起始点，然后每次不同时向后跳2就行了。

注意这里最后还要判断一下剩下的串的个数是不是偶数！！！复杂度应该是\(O(n^2)\)但水过了就是水过了...

E

好题!起码对我来说是这样的,学到了许多的知识...

首先我们先将所有的数字减1，将一个排列位置上的数和它的标号都减一。例如：\(n=4\)，\(p[0]=0,p[1]=1,p[2]=2,p[3]=3.\)这是一个排列。或者打乱一下，\(p[0]=2,p[1]=3,p[2]=0,p[3]=1\),这也是一个排列，反正我们就是要将数和位置数都减一。为什么这样做呢，因为像这样的整体移动，往往和对n取模有关，例如当\(k=2\)时，数组变成\(p[0]=2,p[1]=3,p[2]=0,p[3]=1\)，我们发现对于\(>=k+1\)的数下标为i的就变成了\(i-k\),这个很好想，毕竟他们就是从原来的数被迫向后推了\(k\)。对于前\(k\)个数我们找一下规律，\(p[0]=2=n-1-(k-1)=n-k,p[1]=3=n-k+1\),同理可推得\(p[i]=n-k+i,p[i]=i-k+n\),发现和\(i-k\)的形式就多了一个\(n\)，怎么办，我们取模啊，于是就有了\(p[i]≡i-k\)(%n)，也就是说对于一个k，我们就能知道了其序列应该满足上式。之后考率给定一个k我们怎么用最少的次数将它还原成目标数列\(b[i]\)，一个做法就是用图论的知识，环图，我们将p[i]向b[i]连边。意思是在p[i]序列中p[i]要和b[i]交换。考虑这样做后整个图一定是若干个环，对于每个环我们要花费环中元素的个数-1的次数才能将环中的数都还原。这样之后我们总的还原次数就是n-环的个数。好了，结束了...

不对啊，难道我们要对每一个k都做一下上述找环的过程吗？这个过程不是\(O(n^2)\)的吗？

考虑题中给的\(m\leq \frac{n}{3}\)有何用意，我们考虑一个能够用m次交换就能成功的排列，那么其最多有2m个数是乱序的，那么也就是说这个排列最少有n-2m个数是在自己本来位置上的。我们可以用一个数组\(cnt_i\)表示\(k=i\)在自己正确的位置上的数的个数。

考虑\(k=0,1,...,n-1\)这n个排列是各不相同，也就是说对于\(k1!=k2,p_{k1}[i]!=p_{k2}[i]\)这样的话由于目标序列只有一个，所以每个位置只会在其中的一个k中是正确的，在其他的位置都不正确，即\(\sum{cnt_i}=n\)。这样的话我们只需要在目标序列上找到其对应正确位置的k值，之后我们只用检查满足要求的k值，等等这样的k值一共有多少个，\(\frac{n}{n-\frac{2n}{3}}\)那不是3吗？

也就是说说最多有3个k值需要我们去找环，放心食用.

F

未完待续...