51Nod 1084 矩阵取数问题 V2 双线程DP 滚动数组优化

基准时间限制：2 秒 空间限制：131072 KB 

一个M*N矩阵中有不同的正整数，经过这个格子，就能获得相应价值的奖励，先从左上走到右下，再从右下走到左上。第1遍时只能向下和向右走，第2遍时只能向上和向左走。两次如果经过同一个格子，则该格子的奖励只计算一次，求能够获得的最大价值。

 

例如：3 * 3的方格。

 

1 3 3

2 1 3

2 2 1

 

能够获得的最大价值为：17。1 -> 3 -> 3 -> 3 -> 1 -> 2 -> 2 -> 2 -> 1。其中起点和终点的奖励只计算1次。

 

Input

第1行：2个数M N，中间用空格分隔，为矩阵的大小。(2 <= M, N <= 200)
第2 - N + 1行：每行M个数，中间用空格隔开，对应格子中奖励的价值。(1 <= A[i,j] <= 10000)

Output

输出能够获得的最大价值。

Input示例

3 3
1 3 3
2 1 3
2 2 1

Output示例

17

思路：双线DP，看成两个人一起从（1,1）到（N，M），走的路径不能相同。

方法1：按照路径长度考虑，路径总长度：tot=x+y-1，dp[tot][x1][x2]，两个人的横坐标x1，x2

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int ans[][],dp[][][];
 int main() {
     int M,N;
     scanf("%d %d",&M,&N);
     for(int i=;i<=N;++i)
         for(int j=;j<=M;++j)
             scanf("%d",&ans[i][j]);
     memset(dp,,sizeof(dp));
     for(int tot=;tot<=N+M-;++tot)//路径长度
         for(int i=;i<=N&&(<=tot+-i);++i)
             for(int j=;j<=N&&(<=tot+-j);++j) {
                 dp[tot][i][j]=max(dp[tot][i][j],dp[tot-][i-][j-]);
                 dp[tot][i][j]=max(dp[tot][i][j],dp[tot-][i-][j]);
                 dp[tot][i][j]=max(dp[tot][i][j],dp[tot-][i][j-]);
                 dp[tot][i][j]=max(dp[tot][i][j],dp[tot-][i][j])+ans[i][tot+-i]+ans[j][tot+-j];
                 if(i==j) dp[tot][i][j]-=ans[i][tot+-i];
             }
     printf("%d\n",dp[N+M-][N][N]);
     return ;
 }

方法2：按照走到走了几步，总的步数：tot=x+y-2

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int ans[][],dp[][][];
 int main() {
     int M,N;
     scanf("%d %d",&M,&N);
     for(int i=;i<=N;++i)
         for(int j=;j<=M;++j)
             scanf("%d",&ans[i][j]);
     memset(dp,,sizeof(dp));
     dp[][][]=ans[][];//一步都没走
     for(int tot=;tot<=N+M-;++tot)//走了几步
         for(int i=;i<=N&&(i-<=tot);++i)
             for(int j=;j<=N&&(j-<=tot);++j) {
                 dp[tot][i][j]=max(dp[tot][i][j],dp[tot-][i-][j-]);
                 dp[tot][i][j]=max(dp[tot][i][j],dp[tot-][i-][j]);
                 dp[tot][i][j]=max(dp[tot][i][j],dp[tot-][i][j-]);
                 dp[tot][i][j]=max(dp[tot][i][j],dp[tot-][i][j])+ans[i][tot+-i]+ans[j][tot+-j];
                 if(i==j) dp[tot][i][j]-=ans[i][tot+-i];
             }
     printf("%d\n",dp[N+M-][N][N]);
     return ;
 }

方法3：对方法2的优化，滚动数组

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 int ans[][],dp[][][];
 int max(int a, int b) {if(a>=b) return a;return b;}
 int main() {
     int M,N;
     scanf("%d %d",&M,&N);
     for(int i=;i<=N;++i)
         for(int j=;j<=M;++j)
             scanf("%d",&ans[i][j]);
     memset(dp,,sizeof(dp));
     dp[][][]=ans[][];//一步都没走
     int dir=;
     //tot->走了几步
     for(int tot=;tot<=N+M-;++tot) {
         dir=-dir;
         for(int i=;i<=N&&(i-<=tot);++i)
             for(int j=;j<=N&&(j-<=tot);++j) {
                 dp[dir][i][j]=max(dp[dir][i][j],dp[-dir][i-][j-]);
                 dp[dir][i][j]=max(dp[dir][i][j],dp[-dir][i-][j]);
                 dp[dir][i][j]=max(dp[dir][i][j],dp[-dir][i][j-]);
                 dp[dir][i][j]=max(dp[dir][i][j],dp[-dir][i][j])+ans[i][tot+-i]+ans[j][tot+-j];
                 if(i==j) dp[dir][i][j]-=ans[i][tot+-i];
             }
     }
     printf("%d\n",dp[dir][N][N]);
     return ;
 }