HDU 4549 M斐波那契数列（矩阵快速幂）

题目链接：M斐波那契数列

题意：$F[0]=a，F[1]=b，F[n]=F[n-1]*F[n-2]$。给定$a，b，n$，求$F[n]$。

题解：暴力打表后发现$ F[n]=a^{fib(n-1)} * b^{fib(n)} $

斐波那契数列可用矩阵快速幂求解。但是此题中n较大，fib会爆掉。这时候需要引入费马小定理优化。

证明：$a^x \% p = a^{x \%(p-1)} \%p$

1. $a^x \% p = a^{x \% (p-1) + x/(p-1)*(p-1)} \% p$

2. $a^x \% p = a^{x \% (p-1)} * a^{x/(p-1)*(p-1)} \%p$

3. $a^{x/(p-1)*(p-1)} \% p= ({a^{p-1}}) ^ {(x/(p-1))} \%p = 1^ {(x/(p-1))}$

把3式带入2式，即可证明。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define N 2
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const ll mod=;

 struct mat
 {
     ll m[N][N]=
     {
      {,},
      {,}
     };
 };

 mat mul(mat a,mat b,ll p)
 {
     mat ans;
     int i,j,k;
     for(i=;i<N;i++)
     for(j=;j<N;j++)
     ans.m[i][j]=;

     for(i=;i<N;i++)
     for(j=;j<N;j++)
     for(k=;k<N;k++)
     ans.m[i][j]=(ans.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%p;
     return ans;
 }

 ll matpow(ll n,ll p)
 {
     if(n<) return ;
     mat ans,tmp;
     int i,j;
     for(int i=;i<N;i++)
     for(int j=;j<N;j++)
     ans.m[i][j]=;

     ans.m[][]=;
     ans.m[][]=;
     while(n)
     {
         if(n&) ans=mul(tmp,ans,p);
         tmp=mul(tmp,tmp,p);
         n=n>>;
     }
     return ans.m[][]%p;
 }

 ll fast_mod(ll a,ll b,ll p){
     ll res=;
     while(b){
         if(b&) res=(res*a)%p;
         a=(a*a)%p;
         b>>=;
     }
     return res;
 }

 int main(){
     ll n,a,b;

     while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&n)!=EOF){
         if(n==){
             printf("%lld\n",a);
             continue;
         }
         else if(n==){
             printf("%lld\n",b);
             continue;
         }
         else if(a==||b==){
             printf("0\n");
             continue;
         }
         ll m1=matpow(n-,mod-);
         ll m2=matpow(n,mod-);
         ll ans=(fast_mod(a,m1,mod)*fast_mod(b,m2,mod))%mod;
         printf("%lld\n",ans%mod);
     }

     return ;
 }