NOIP 2009 Hankson 的趣味题

洛谷 P1072 Hankson 的趣味题

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JDOJ 1648: [NOIP2009]Hankson的趣味题 T2

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Description

　　Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。

　　今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整数x 满足：

　　1． x 和a0 的最大公约数是a1；

　　2． x 和b0 的最小公倍数是b1。

　　Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

Input

　　输入文件第一行为一个正整数n，表示有n 组输入数据。接下来的n 行每行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0 能被a1 整除，b1 能被b0 整除。

Output

　　输出文件共n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

　　对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出0；

　　若存在这样的 x，请输出满足条件的x 的个数；

Sample Input

2 41 1 96 288 95 1 37 1776

Sample Output

6 2

HINT

【说明】

　　第一组输入数据，x 可以是9、18、36、72、144、288，共有6 个。

　　第二组输入数据，x 可以是48、1776，共有2 个。

【数据范围】

　　对于 50%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且n≤100。

　　对于 100%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且n≤2000。

Source

NOIP2009提高组

题解：

• 暴力可以试一下

第一次尝试看到前50分的数据范围，可以使用裸的暴力过50pts。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,ans;
int a,a1,b,b1;
int gcd(int x,int y)
{
    return y?gcd(y,x%y):x;
}
int lcm(int x,int y)
{
    return (x*y)/gcd(x,y);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        ans=0;
        scanf("%d%d%d%d",&a,&a1,&b,&b1);
        for(int i=1;i<=max(a,b1);i++)
            if(gcd(i,a)==a1 && lcm(i,b)==b1)
                ans++;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

• 暴力优化

后来发现自己真笨，这个暴力完全就可以优化，只需要一个小小的数学推演：第二个条件中\(lcm(i,b)=b_1\)，那么我们发现满足条件的\(i\)一定是\(b_1\)的约数，那就好办了，把\(b_1\)的约数全都处理出来，在约数上跑暴力判断就行了。

至于约数筛选的相关知识，请参考如下博客：

约数相关知识

所以有以下代码：（要开long long，不开的话还不如裸的暴力别问我咋知道的）

预计60-70,实际100（？？！！）

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,ans;
ll a,b,c,d;
inline int gcd(int x,int y)
{
    return y?gcd(y,x%y):x;
}
inline ll lcm(int x,int y)
{
    return (ll)x*(ll)y/(ll)gcd(x,y);
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    while(n--)
    {
        ans=0;
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
        for(int i=1;i*i<=d;i++)
        {
            if(d%i==0)
            {
                if(gcd(a,i)==b && lcm(c,i)==d)
                    ans++;
                if(i!=d/i)
                {
                    if(gcd(d/i,a)==b && lcm(d/i,c)==d)
                        ans++;
                }
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

注：JDOJ的是数据加强版。用以上代码会TLE，加各种卡常优化都没有用。但是后来找到了问题：读入long long形的变量要比读入int形变量更慢（大约也就慢700毫秒？？）所以改成用int存变量即可AC，实测360毫秒（加快读及O2）。