题意:给出a,b,问有多少种长方形满足面积为a,最短边>=b?

首先简单讲一下唯一分解定理。

唯一分解定理:任何一个自然数N,都可以满足:,pi是质数。

且N的正因子个数为(1+a1)*(1+a2)*(1+a3)*.......*(1+an)。

看了网络上很多人写的题解,普遍的做法是先找出N的所有正因子n,(n/2)就是在不考虑最短边>=b时所有存在的长方形,现在考虑最短边>=b,只需要减去所有能整除a且小于b的因子即可。

具体写法:

1.先预处理素数

2.用唯一分解定理求出N的所有因子

3.减去使得最短边<b的因子对

AC code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool u[];
ll su[];
ll a,b,tmp,num,sum;
void olas()
{
num=;
memset(u,true,sizeof(u));
for(ll i=; i<=; i++)
{
if(u[i]) su[num++]=i;
for(ll j=; j<num; j++)
{
if(i*su[j]>) break;
u[i*su[j]]=false;
if(i%su[j]==) break;
}
}
}
void cal()
{
sum=;
for(ll i=; i<num&&su[i]<=sqrt(tmp); i++)
{
ll cc=;
while(tmp%su[i]==)
{
cc++;
tmp/=su[i];
}
sum*=(+cc);
}
if(tmp>) sum*=;
}
int main()
{
//freopen("input.txt","r",stdin);
olas();
ll T,kase=;
scanf("%lld",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld",&a,&b);
if(a<b*b) printf("Case %lld: 0\n",kase++);
else
{
tmp=a;
cal();
sum/=;
for(ll i=; i<b; i++)
{
if(a%i==) sum--;
}
printf("Case %lld: %lld\n",kase++,sum);
}
}
return ;
}

存疑:

虽然说按照以上写法可以AC,考虑到有T可以取到4000,b可以取到1000000,假设有测试数据如下:

T = 4000

case 1:a=10^12 ,b=10^6

case 2:a=10^12 ,b=10^6-1

case 3:a=10^12 ,b=10^6-2

.......

case 4000:a=10^12,b=10^6-3999

这样一来由于每次都遍历了1->b,真实时间复杂度>O(4000*10^6)在3000ms内必然TLE。

但是本题不存在这样的测试数据。。。。。。。所以可以直接水过。。

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