test20190725 夏令营测试11

50+80+90=220。(每题满分90)

砍树

小A在一条水平的马路上种了n棵树，过了几年树都长得很高大了，每棵树都可以看作是一条长度为a[i]的竖线段。由于有的树过于高大，挡住了其他的树，使得另一些树得不到阳光。如果有两棵树i、j，i顶端与j底端连线的倾角大于45度，我们就定义为i挡住了j。现在小A希望将一些树砍低，使得不存在挡住的情况。他想知道总共最少需要砍掉多少长度，请你来帮他计算一下。

注意，如果同一位置有两棵树的话，根据题意，我们只能将这两棵树都砍成高度为0才能保证它们不相互挡住，但是高度为0并不代表这棵树不存在。

输入格式：

第一行一个正整数n，表示有n棵树。

接下来n行，每行两个正整数p[i], a[i]，表示一棵树的位置和高度。

输出格式：

输一个数，表示最少砍断多少长度

样例输入：

3

0 2

1 2

3 3

样例输出：

3

数据范围：

对于50%的数据，n≤100

对于100%的数据，n≤100000, 0<p[i], a[i]≤10000

时间限制：

1 sec

空间限制：

128MB

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开始看错题了……原来树即使砍到高度为0它还是在那。

所以排序做一下就好了。

然后因为没有特判不需要砍就WA小数据……

统计方案

小B写了一个程序，随机生成了n个正整数，分别是a[1]..a[n]，他取出了其中一些数，并把它们乘起来之后模p，得到了余数c。但是没过多久，小B就忘记他选了哪些数，他想把所有可能的取数方案都找出来。你能帮他计算一下一共有多少种取数方案吗？请把最后的方案数模1000000007后输出。

小B记得他至少取了一个数。

输入格式：

第一行三个正整数n,p,c，含义如题目所述。

接下来一行有n个正整数，表示生成的n个随机数。

输出格式：

一个数，方案数模1000000007。

样例输入：

2 7 2

1 2

样例输出：

2

数据范围：

对于30%的数据，n≤16

另有30%的数据，p≤10000

对于100%的数据，n≤32, p≤10^9, c≤10^9, a[i]<p, p是质数

时间限制：

1 sec

空间限制：

128MB

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meet in the middle，折半搜索模板题.

数据中有一个点c≥p，但是根据题面这是不合法的……

游戏

Alice和Bob两个人正在玩一个游戏，游戏有很多种任务，难度为p的任务（p是正整数），有1/(2^{p)的概率完成并得到2}(p-1)分，如果完成不了，得0分。一开始每人都是0分，从Alice开始轮流做任务，她可以选择任意一个任务来做；而Bob只会做难度为1的任务。只要其中有一个人达到n分，即算作那个人胜利。求Alice采取最优策略的情况下获胜的概率。

输入格式：

一个正整数n，含义如题目所述。

输出格式：

一个数，表示Alice获胜的概率，保留6位小数。

样例输入：

1

样例输出：

0.666667

数据范围：

对于30%的数据，n≤10

对于100%的数据，n≤500

时间限制：

1sec

空间限制：

128MB

题解

数据范围这么小，随便定义状态都行。

\(f[i,j]\)表示Alice得了\(i\)分，Bob得了\(j\)分时的概率.

题目中的最优策略是什么呢?这里指的是各种Alice的各种方案中概率的最大值.

然后就是简单的概率DP了,时间复杂度\(O(n^2\log n)\).

#include<bits/stdc++.h>
#define co const
#define il inline
template<class T>T read(){
	T x=0,w=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*w;
}
template<class T>T read(T&x){
	return x=read<T>();
}
using namespace std;

co int N=501;
int n;
bool vis[N][N];
double f[N][N];

double dp(int i,int j){
	if(i>=n) return 1;
	if(j>=n) return 0;
	if(vis[i][j]) return f[i][j];
	vis[i][j]=1;
	int up=ceil(log2(n-i));
	double ans=0;
	for(int p=0;p<=up;++p){
		double sum=pow(0.5,p+2)*(dp(i+(1<<p),j)+dp(i+(1<<p),j+1))+(1-pow(0.5,p+1))*0.5*dp(i,j+1);
		ans=max(ans,sum/(1-(1-pow(0.5,p+1))*0.5));
	}
	return f[i][j]=ans;
}
int main(){
	read(n);
	printf("%lf\n",dp(0,0));
	return 0;
}